2021高考数学一轮复习 第13章 选修4-5 第2节 不等式的证明课件 理 北师大版

第十三章选修4－5不等式选讲第二节不等式的证明2[最新考纲]通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．3课前自主回顾41．基本不等式定理1：对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．定理2：对任意两个正数a，b，有a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时取等号．5公理3：对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时取等号．定理4：对任意三个正数a，b，c，有a＋b＋c3≥______，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．推广：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．3abc62．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥__________(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ(α，β为非零向量)时，等号成立．(ac＋bd)27(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则x1－x22＋y1－y22＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x32＋y1－y32.(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．83．不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a，b∈R)：a－b0⇔____；a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b.②作商法(a0，b0)：ab1⇔ab；ab1⇔ab；ab＝1⇔a＝b.ab9(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的_____、_____而得出命题成立．综合法又叫顺推证法或由因导果法．②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的_________，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．推理论证充分条件10(3)放缩法证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(4)反证法的步骤①作出否定______的假设；②进行推理，导出_____；③否定_____，肯定_____.结论矛盾假设结论11一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．()12[答案](1)×(2)√(3)×(4)×(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．()13二、教材改编1．不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③ba＋ab≥2，其中恒成立的是()A．①③B．②③C．①②③D．①②14D[由①得x2＋3－3x＝x－322＋34＞0，所以x2＋3＞3x；对于②，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab＜0时，ba＋ab－2＝a－b2ab＜0，即ba＋ab＜2，故选D.]15M≥N[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b0，所以a－b≥0，a＋b0,2a＋b0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.]2．已知a≥b0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．169[∵a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2ba×ab＋2ca×ac＋2cb×bc＝3＋6＝9，当且仅当a＝b＝c时等号成立．]3．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．175[根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，即m2＋n2≥5，所以m2＋n2的最小值为5.]4．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．18课堂考点探究19考点1用综合法与分析法证明不等式用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以开阔解题思路，开阔视野．201.已知x，y均为正数，且xy，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3；[证明]因为x0，y0，x－y0，2x＋1x2－2xy＋y2－2y＝2(x－y)＋1x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋1x－y2≥33x－y2·1x－y2＝3(当且仅当x－y＝1时，等号成立)，所以2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.212．设a，b，c0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3.[证明]因为a，b，c0，所以要证a＋b＋c≥3，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，22即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋b2＋c22＋c2＋a22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立，所以原不等式成立．233．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[解](1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.24(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33a＋b3b＋c3a＋c3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.25(1)利用综合法证明不等式时，常用的不等式有：①a2≥0；②|a|≥0；③a2＋b2≥2ab，它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，a2＋b22≥a＋b22等；④a＋b2≥ab(a0，b0)，它的变形形式又有a＋1a≥2(a0)，ba＋ab≥2(ab0)，ba＋ab≤－2(ab0)等．(2)用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析的过程是寻求结论成立的充分条件，而不一定是充要条件，同时要正确使用“要证”“只需证”这样的“关键词”．26[教师备选例题](2017·全国卷Ⅱ)已知a0，b0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.27[证明](1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3a＋b24(a＋b)＝2＋3a＋b34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.28考点2放缩法证明不等式(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧，常见的放缩方法有：①变换分式的分子和分母，如1k21kk－1，1k21kk＋1，1k2k＋k－1，1k2k＋k＋1，上面不等式中k∈N＋，k1；29②利用函数的单调性；③利用结论，如“若0ab，m0，则aba＋mb＋m”．(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一起应用，利用放缩法时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩．30(1)设a0，x－1a3，|y－2|a3，求证：|2x＋y－4|a.(2)求证：112＋122＋132＋…＋1n274.[证明](1)由a0，|x－1|a3，可得|2x－2|2a3，又|y－2|a3，∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|31≤|2x－2|＋|y－2|2a3＋a3＝a.即|2x＋y－4|a.(2)∵1n21nn－1＝1n－1－1n∴112＋122＋132＋…＋1n21＋122＋(12－13＋…＋1n－1－1n)＝54＋(12－1n)74.32(1)本例1采用了绝对值不等式的性质证明不等式，通过变形、配凑达到证明的目的；(2)本例2采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰到好处．331.设n是正整数，求证：12≤1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜1.[证明]由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得12n≤1n＋k＜1n.当k＝1时，12n≤1n＋1＜1n；当k＝2时，12n≤1n＋2＜1n；…34当k＝n时，12n≤1n＋n＜1n，∴12＝n2n≤1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜nn＝1.∴原不等式成立．352．若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.[证明]当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|＝|a|1＋|a|＋|b|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.36考点3柯西不等式的应用柯西不等式的解题策略(1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题．(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件.37(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥13成立，证明：a≤－3或a≥－1.[解](1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]38≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥43，当且仅当x＝53，y＝－13，z＝－13时等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为43.39(2)由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知得(x－2