2021高考数学一轮复习 第12章 选修4-4 第2节 参数方程课件 理 北师大版

第十二章选修4－4坐标系与参数方程第二节参数方程2[最新考纲]1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．3课前自主回顾41．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝ft，y＝gt并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做_______，简称_____．参变数参数52．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)圆x2＋y2＝r2x＝______，y＝______(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x＝______，y＝______(φ为参数)rcosθrsinθacosφbsinφ6[常用结论]根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l＝|t1－t2|；(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.7一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程x＝ft，y＝gt中的x，y都是参数t的函数．()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的数量．()8[答案](1)√(2)√(3)√(4)×(3)方程x＝2cosθ，y＝1＋2sinθ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．()(4)已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3.()9二、教材改编1．曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上10B[由x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ，得cosθ＝x＋1，sinθ＝y－2，所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]112．直线x＝1＋12t，y＝－33＋32t(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为()A．(3，－3)B．(－3，3)C．(3，－3)D．(3，－3)12D[将直线方程代入圆的方程，得1＋12t2＋－33＋32t2＝16，整理，得t2－8t＋12＝0，则t1＋t2＝8，t1＋t22＝4，故其中点坐标满足x＝1＋12×4，y＝－33＋32×4，解得x＝3，y＝－3.]13y＝2－2x2(－1≤x≤1)[由x＝sinθ，y＝cos2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]3．曲线C的参数方程为x＝sinθ，y＝cos2θ＋1(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．143[直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.]4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则a＝________.15课堂考点探究16考点1参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．171.将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝1t，y＝1tt2－1(t为参数)；(2)x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ(θ为参数)；(3)x＝2t21＋t2，y＝4－2t21＋t2(t为参数)．18[解](1)∵1t2＋1tt2－12＝1，∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝1t，∴x≠0.当t≥1时，0＜x≤1；当t≤－1时，－1≤x＜0，19∴所求普通方程为x2＋y2＝1，其中0＜x≤1，0≤y≤1或－1≤x＜0，－1＜y≤0.(2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．20(3)因为x＝2t21＋t2，y＝4－2t21＋t2＝41＋t2－6t21＋t2＝4－3×2t21＋t2＝4－3x.又x＝2t21＋t2＝21＋t2－21＋t2＝2－21＋t2∈[0,2)，所以所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．212.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．[解]圆的半径为12，记圆心为C12，0，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝12＋12cos2θ＝cos2θ，22yP＝12sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．23考点2参数方程的应用1.应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．24(1)(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.①求C和l的直角坐标方程；②求C上的点到l距离的最小值．25(2)(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．①求α的取值范围；②求AB中点P的轨迹的参数方程．26[解](1)①因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.②由①可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.27当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.(2)①⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k2＜1，28解得k＜－1或k＞1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.②l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinα(t为参数，π4＜α＜3π4)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，29且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4＜α＜3π4.30(1)对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值．31[教师备选例题]已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解](1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.32(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.331.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．34[解](1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①35因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinα1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.362．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.37[解](1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425，从而C与l的交点坐标是(3,0)，－2125，2425.38(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；39当a－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.40考点3极坐标、参数方程的综合应用处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标