2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第7节 双曲线课件 理 北师大版

第九章平面解析几何第七节双曲线2[最新考纲]1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．3课前自主回顾41．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的_________________等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的_____，两焦点之间的距离叫作双曲线的_____．距离之差的绝对值焦点焦距5(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.①当_________时，M点的轨迹是双曲线；②当_________时，M点的轨迹是两条射线；③当_________时，M点不存在．2a|F1F2|2a＝|F1F2|2a|F1F2|62．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形7范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：_______，对称中心：_____顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx性质离心率e＝___，e∈(1，＋∞)坐标轴原点ca8实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长性质a，b，c的关系c2＝_______(ca0，cb0)a2＋b29[常用结论]双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．10(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝1＋b2a2.11一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()12[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()13A[由题意可知b＝2a，∴e＝ca＝1＋b2a2＝5，故选A.]二、教材改编1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2142．以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()A．x2－y23＝1B．x23－y2＝1C．x2－y22＝1D．x24－y23＝115A[设所求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由椭圆x24＋y23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0).所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－y23＝1.]16(－∞，－2)∪(－1，＋∞)[因为方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.]3．若方程x22＋m－y2m＋1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．176[设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝17－1，故|PF2|＝6.]4．已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．18课堂考点探究19考点1双曲线的定义及其应用双曲线定义的主要应用(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．20(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．(2)已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.21(1)x2－y28＝1(x≤－1)(2)9(3)34[(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，22所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图像，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.23(3)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，所以cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝422＋222－422×42×22＝34.]24[母题探究]1．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？[解]不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.252．将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1→·PF2→＝0”，则△F1PF2的面积是多少？[解]不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝2.26在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．271.虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为()A．3B．16＋2C．12＋2D．2428B[由于2b＝2，e＝ca＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝24.由双曲线的定义知，|AF2|－|AF1|＝2a＝22，①|BF2|－|BF1|＝22，②29①＋②得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝2，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋2，则△ABF2的周长为16＋2，故选B.]308[设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|－|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|－|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是8.]2．(2019·洛阳模拟)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是_______．31考点2双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．(2)待定系数法：即“先定位，后定量”．①焦点位置不确定时，设Ax2＋By2＝1(AB0)；②与x2a2－y2b2＝1共渐近线的设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与x2a2－y2b2＝1共焦点的设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2)．32(1)(2019·大连模拟)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为()A.x24－y22＝1B．x23－y22＝1C.x24－y28＝1D．x2－y22＝133(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为54；②渐近线方程为y＝±12x，焦距为10；③经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)；34(1)D[(1)由题意可知|PF1|＝43c3，|PF2|＝23c3，2b＝22，由双曲线的定义可得43c3－23c3＝2a，即c＝3a.又b＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－y22＝1，故选D.]35(2)[解]①设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.36②设所求双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，当λ0时，双曲线标准方程为x24λ－y2λ＝1，∴c＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；当λ0时，双曲线标准方程为y2－λ－x2－4λ＝1，∴c＝－5λ.∴－5λ＝5，λ＝－5.∴所求双曲线方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.37③设双曲线方程为mx2－ny2＝1.(mn0)∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解之得m＝－175，n＝－125.∴双曲线方程为y225－x275＝1.38(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论．391.(2019·荆州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是()A．x212－y2＝1B．x29－y23＝1C．x2－y23＝1D．x223－y232＝140C[由双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得2a2－3b2＝1，ba＝3，解得a＝1，b＝3，∴双曲线C的标准方程是x2－y23＝1，故选C.]41x216－y29＝1[将3x±4y＝0化为x4±y3＝0，设以x4±y3＝0为渐近线的双曲线方程为x216－y29＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5,0)，所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即双曲线的方程为x216－y29＝1.]2．已