2021高考数学一轮复习 第6章 数列 第3节 等比数列及其前n项和课件 文 北师大版

第六章数列第三节等比数列及其前n项和2[最新考纲]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．3课前自主回顾41．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示，定义的表达式为___________(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒.2同一个常数公比an＋1an＝qGG2＝ab52．等比数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝q＝1，___________＝a1－anq1－qq≠1.a1qn－1na1a11－qn1－q63．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a2s，其中m，n，p，q，s，r∈N*.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．7(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(5)当q≠－1时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．8[常用结论]1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝a11－q.9一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×10二、教材改编1．等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于()A．27B．36C.812D．54C[公比q＝a4a3＝1812＝32，则a6＝a4q2＝18×322＝812.]112．在等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，则a1，q的值分别为()A．6，12B．6，－12C.32，1D.32，1或6，－1212D[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.当q＝1时，a1＝32；当q＝－12时，a1＝6，故选D.]133．7＋35与7－35的等比中项为________．±2[由G2＝(7＋35)(7－35)＝4得G＝±2.]144．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81[设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]15课堂考点探究16⊙考点1等比数列的基本运算(1)等比数列基本运算的通法是设出首项a1和公比q，通过方程组求出结果，进而解决问题，体现了方程的思想．(2)在使用等比数列前n项和公式时，应注意判断公比q是不是1，从而选择不同的求和公式．17(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{an}的通项公式；②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.18(1)C[(1)设正数的等比数列{an}的公比为q，则a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，a1q4＝3a1q2＋4a1，解得a1＝1，q＝2，∴a3＝a1q2＝4，故选C.]19(2)[解]①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.②若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．20若an＝2n－1，则Sn＝1－2n1－2＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.21把S4表示成S4＝a1＋a1q＋a1q2＋a1q3，不需要考虑q是不是1的情况，如本例T(1)．221.已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝()A．4B．10C．16D．32C[设公比为q(q＞0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3(舍去)，则a5＝2×23＝16.]232．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S4＝________.2458[设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.∵a1＝1，S3＝34，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝34，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－12，∴S4＝1×1－－1241－－12＝58.]253．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________.2632[设{an}的首项为a1，公比为q，则a11－q31－q＝74，a11－q61－q＝634，解得a1＝14，q＝2，所以a8＝14×27＝25＝32.]27⊙考点2等比数列的判定与证明判定等比数列的四种方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．28(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．29(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．30[解](1)由条件可得an＋1＝2n＋1nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.31(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.32本例中由bn＋1＝2bn，不能判定{bn}是等比数列，还要验证b1≠0.33(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.34[解](1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n-1.35(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.36⊙考点3等比数列性质的应用应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质．(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列求解．37等比数列项的性质(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝________.38(1)50(2)31[(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.39(2)由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由a3＋a5＝20，a3a5＝64，且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以a1q2＝4，a1q4＝16，解得a1＝1，q＝2.所以S5＝1×1－251－2＝31.]40本例T(2)也可以先求出a1和q，再求S5，但运算量大，易出错．41等比数列前n项和的性质(1)[一题多解]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝12，则S9S3＝________.(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.42(1)34(2)2[(1)法一：(整体代入法)因为S6∶S3＝1∶2，所以{an}的公比q≠1.由a11－q61－q÷a11－q31－q＝12，得q3＝－12，所以S9S3＝1－q91－q3＝34.43法二：(性质法)由题意知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．又S6S3＝12，即S3＝2S6，所以2S6，－S6，S9－S6成等比数列．∴S9－S6＝12S6，即S9＝32S6.∴S9S3＝3S62S3＝34.44(2)由题意，得S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，解得S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝S偶S奇＝－160－80＝2.]45对于本例T(2)，熟练掌握S偶与S奇的关系为解答本题提供了保障，避免了繁琐的运算．461.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则a2a16a9的值为()A．－2＋22B．－2C.2D．－2或247B[设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，则a9＝－2，所以a2a16a9＝a29a9＝a9＝－2，故选B.]482．设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于()A．－9B．－21C．－25D．－63B[因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.]49⊙考点4等差数列与等比数列的综合计算等差数列与等比数列综合计算的策略(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解方程中注意合理选择有关公式，正确判