2021高考数学一轮复习 第6章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法课件 文 北师大版

第六章数列2全国卷五年考情图解3高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2道小题或1道解答题，分值占10～12分.2.考查内容高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算、性质及数列的递推公式等为主．解答题一般考查数列的通项公式、前n项和公式、等差、等比数列的判定及计算、错位相减法、裂项相消法、公式法求和.43.备考策略(1)熟练掌握以下内容及方法①根据数列的递推公式求通项公式的常用方法；②等差、等比数列的通项公式、前n项和公式；③等差、等比数列的性质；④等差、等比数列的判定方法；⑤数列求和方法：分组转化法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.(2)重视分类讨论、转化与化归思想在数列中的应用.5第一节数列的概念与简单表示法6[最新考纲]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．7课前自主回顾81．数列的概念(1)数列的定义：按照排列着的一列数称为数列，数列中的叫做这个数列的项．(2)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是、和．通项公式法一定顺序每一个数列表法图像法92．数列的分类分类标准类型满足条件有穷数列项数_____项数无穷数列项数_____有限有限10递增数列an＋1an递减数列an＋1an常数列an＋1＝an＝c(常数)其中n∈N*单调性摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列113.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．序号n125．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝n＝1，______________.S1Sn－Sn－1n≥213[常用结论]1．数列{an}是递增数列⇔an＋1＞an恒成立．2．数列{an}是递减数列⇔an＋1＜an恒成立．14一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．()(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()15(4)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝12an－1，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√16二、教材改编1．数列－1，12，－13，14，－15，…的一个通项公式为()A．an＝±1nB．an＝(－1)n·1nC．an＝(－1)n＋11nD．an＝1nB[由a1＝－1，代入检验可知选B.]172．在数列{an}中，已知a1＝－14，an＋1＝1－1an，则a3＝()A．－3B.23C．5D.45D[a2＝1－1a1＝5，a3＝1－1a2＝1－15＝45.]183．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第6个三角形数是()A．27B．28C．29D．3019B[由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]204．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n＞2)给出，则a5＝________.8[a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8.]21课堂考点探究22⊙考点1由数列的前n项归纳数列的通项公式解答具体策略：①相邻项的变化规律；②各项的符号规律和其绝对值的变化规律；③分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；④合理拆项；⑤结构不同的项，化异为同．23根据下面各数列前n项的值，写出数列的一个通项公式．(1)12，－34，78，－1516，3132，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)5,55,555,5555，…；(4)1,3,1,3，…；(5)23，415，635，863，1099，…；(6)－1,1，－2,2，－3,3，….24[解](1)数列中各项的符号可通过(－1)n＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝(－1)n＋12n－12n.(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝n22.25(3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)．(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是3，所以数列的一个通项公式为an＝2＋(－1)n.26(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝2n2n－12n＋1.27(6)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n＋12表示，数列的偶数项为1,2,3，…可用n2表示．因此an＝－n＋12n为奇数，n2n为偶数.28(1)记住常见数列的通项公式，有些数列可用常见数列表示，如T(3)．(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如T(6)．29⊙考点2由an与Sn的关系求通项公式已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1，求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．30(1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.(2)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.31(1)2，n＝16n－5，n≥2(2)－63(3)2，n＝12n－1n，n≥2[(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.32(2)由Sn＝2an＋1得S1＝2a1＋1，即a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.又Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)，所以an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.所以数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列，所以S6＝－1－261－2＝1－26＝－63.33(3)当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝2n－1n(n≥2)．34显然当n＝1时不满足上式，∴an＝2，n＝1，2n－1n，n≥2.]35an＝Sn－Sn－1只适用于n≥2的情形，易忽略求a1，造成错解，如T(1)，T(3)．361.(2019·郑州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________．37an＝3，n＝12n，n≥2[由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，即Sn＝2n＋1－1.当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，显然a1＝3不满足上式，所以an＝3，n＝1，2n，n≥2.]382．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有2Sn＝a2n＋an，则an＝________.39n[由2Sn＝a2n＋an得2Sn－1＝a2n－1＋an－1，∴2an＝a2n－a2n－1＋an－an－1，即a2n－a2n－1＝an＋an－1，又an＞0，∴an－an－1＝1，又2S1＝a21＋a1，解得a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．∴an＝1＋(n－1)×1＝n.]40⊙考点3由递推公式求数列的通项公式由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)形如an＋1＝an＋f(n)，可用累加法求an.(2)形如an＋1＝anf(n)，可用累乘法求an.(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，可构造等比数列求an.(4)形如an＋1＝AanBan＋C，可通过两边同时取倒数，构造新数列求解．41形如an＋1＝an＋f(n)，求an在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．42[解]∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋8＋5＋2＝n3n＋12，∴an＝32n2＋n2.43求解时，易错误地认为an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)造成错解．44形如an＋1＝anf(n)，求an已知数列{an}满足a1＝4，an＋1＝nn＋2an，求数列{an}的通项公式．45[解]由an＋1＝nn＋2an得an＋1an＝nn＋2，∴anan－1＝n－1n＋1(n≥2)，∴an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24·13·4＝1n＋1×1n×2×1×4＝8nn＋1，即an＝8nn＋1.46求解时易错误地认为an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1，造成错解．47形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．[解]∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.48an＋1＝Aan＋B可转化为an＋1＋k＝A(an＋k)的形式，其中k可用待定系数法求出．1.(2019·泰安模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝________.492n－1＋n[由an＋1＝an＋2n－1＋1得an＋1－an＝2n－1＋1，∴an－an－1＝2n－2＋1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋(n－1)＋2＝1－2n－11－2＋n＋1＝2n－1＋n，即an＝2n－1＋n.]502．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则an＝________.2nn－12[∵an＋1＝2nan，∴an＋1an＝2n，∴anan－1＝2n－1(n≥2)，∴an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2nn－12，即an＝2nn－12.]513．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________.2n＋1－3[由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)．又a1＝1，∴a1＋3＝4.故数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴