2021高考数学一轮复习 第3章 导数及其应用 第7节 定积分与微积分基本定理课件 理 北师大版

第三章导数及其应用第七节定积分与微积分基本定理2[最新考纲]1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．3课前自主回顾41．定积分的有关概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi(i＝1,2，…，n)，作和式s′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数A.我们称常数A叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作________，即abf(x)dx＝A.abf(x)dx5在abf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间_______叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做_________，_______叫做被积式．[a，b]积分变量f(x)dx6(2)定积分的几何意义图形阴影部分面积S＝abf(x)dxS＝__________－abf(x)dx7S＝__________________S＝abf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dxacf(x)dx－cbf(x)dx82．定积分的性质(1)ab1dx＝b－a；(2)abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；(3)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝________________；(4)abf(x)dx＝acf(x)dx＋_________(其中acb)．abf1(x)dx±abf2(x)dxcbf(x)dx93．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，那么abf(x)dx＝__________，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．通常称F(x)是f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作______，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)F(x)|ba10[常用结论]函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则-aaf(x)dx＝20af(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则-aaf(x)dx＝0.11[答案](1)√(2)×(3)×一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积．()(3)若abf(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．()12B[S＝0t0vdt＝0t010tdt＝5t2t00＝5t20.]二、教材改编1．已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是()A．10t20B．5t20C．103t20D．53t20131[2e＋11x－1dx＝ln(x－1)e＋12＝lne－ln1＝1.]2．2e＋11x－1dx＝________.14π4[－101－x2dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝1－x2所围成的图形的面积，∴－101－x2dx＝π4.]3.－101－x2dx＝________.1516[如图，阴影部分的面积即为所求．由y＝x2，y＝x，得A(1,1)．故所求面积为S＝01(x－x2)dx＝12x2－13x310＝16.]4．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．16课堂考点探究17考点1定积分的计算计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．18B[12x＋1xdx＝12x2＋lnx21＝2＋ln2－12＝32＋ln2.故选B.]1.计算12x＋1xdx的值为()A.34B.32＋ln2C.52＋ln2D.3＋ln2192[0π(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)π0＝1＋1＝2.]2.0π(sinx－cosx)dx＝________.2012[01|x－1|dx＝01(1－x)dx＝x－12x200)＝1－12＝12.]3.01|x－1|dx＝________.21运用微积分基本定理求定积分时的4个关键点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．22考点2定积分的几何意义(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限．(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．(4)计算定积分，写出答案．23利用定积分的几何意义计算定积分(1)计算：133＋2x－x2dx＝________.(2)若-2m－x2－2xdx＝π4，则m＝________.24(1)π(2)－1[(1)由定积分的几何意义知，133＋2x－x2dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，∴133＋2x－x2dx＝14×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义-2m－x2－2xdx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又-2m－x2－2xdx＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.]25正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键．26求平面图形的面积由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．274－ln3[由xy＝1，y＝3，可得A13，3.由xy＝1，y＝x，可得B(1,1)，由y＝x，y＝3，得C(3,3)，由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为1313－1xdx＋13(3－x)dx＝(3x－lnx)113＋3x－12x231＝(3x－1－ln3)＋9－92－3＋12＝4－ln3.]282[由y＝x2，y＝kx，得x＝0，y＝0或x＝k，y＝k2，则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为0k(kx－x2)dx＝k2x2－13x3|k0＝k32－13k3＝43，即k3＝8，所以k＝2.][逆向问题]已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________.29利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．3076[如图所示，由y＝x及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝x，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为01xdx＋12(－x＋2)dx＝23x|10＋2x－x22|21＝76.]1.曲线y＝－x＋2，y＝x与x轴所围成的面积为________．312.如图所示，由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．3294[由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4，∴y′|x＝0＝4，y′|x＝3＝－2，∴抛物线在A点处的切线方程为y＝4x－3，在B点处的切线方程为y＝－2x＋6，联立方程y＝4x－3，y＝－2x＋6，解得x＝32，y＝3，33∴两切线交点的横坐标为32，∴S＝032[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋323332[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝032x2dx＋323(x2－6x＋9)dx＝13x3323＋13x3－3x2＋9x332＝98＋98＝94.]34考点3定积分在物理中的应用定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝abv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝abF(x)dx.35(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln236(2)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为()A.3JB.233JC.433JD.23J37(1)C(2)C[(1)由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，可得t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，在此期间行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t|40＝4＋25ln5.38(2)变力F在位移方向上的分力为Fcos30°，故F(x)做的功为W＝12(5－x2)cos30°dx＝3212(5－x2)dx＝325x－13x3|2143339如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝－abv(t)dt.40物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是______m.41130[设A追上B时，所用的时间为t0，则SA＝SB＋5，即0t0∫(3t2＋1)dt＝0t0(10t)dt＋5，∴(t3＋t)t00)＝520＋5，∴t30＋t0＝520＋1即t0＝5，,∴SA＝520＋5＝5×52＋5＝130m.]Thankyouforwatching!