圆锥曲线的综合问题突破策略

圆锥曲线综合问题之重点突破类型1：关于弦的中点以及弦的垂直平分线问题的策略这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差法或者韦达．．．．．．．定理．．产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即|DA|=|DB|）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等.【题1】椭圆C：)0(12222babyax的两个焦点为1F、2F，点P在椭圆C上，且211FFPF，341PF，3142PF.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过圆02422yxyx的圆心M，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.【题1】解：(1)6221PFPFa∴3a…………1分又202122221PFPFFF∴cFF25221∴5c…………3分故4222cab…………4分∴椭圆C的方程为14922yx…………5分(2)圆的方程可化为：5)1()2(22yx，故圆心)1,2(M所求直线方程为1)2(xky…………7分联立椭圆方程，消去y，得0273636)1836()94(2222kkxkkxk…………9分∵A、B关于M对称∴29491822221kkkxx…………12分∴98k:89250lxy…………14分[点评]点关于点对称的问题，实质是“中点弦”问题，还可以用“点差法”，请同学们尝试体会，并且比较两种解法的特点.【题2】知椭圆2212xy的左焦点为F，O为坐标原点.设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.【题2】解：设直线AB的方程为(1)(0),ykxk代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxkxk直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.记1122(,),(,),AxyBxyAB中点00(,),Nxy则21224,21kxxkAB的垂直平分线NG的方程为001().yyxxk令0,y得222002222211.212121242Gkkkxxkykkkk10,0,2Gkx点G横坐标的取值范围为1(,0).2[点评]注意AB中点M以及两直线的垂直关系求出“线段AB的垂直平分线”.【题3】设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值；（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.【题3】解：（1）易知)0,1(),0,1(,1,2,521FFcba，设P（x，y），则1),1(),1(2221yxyxyxPFPF=3511544222xxx]5,5[x，0x当，即点P为椭圆短轴端点时，21PFPF有最小值3；当5x，即点P为椭圆长轴端点时，21PFPF有最大值4[点评]本小题体现“消元”的思想和“函数”的思想，注意定义域[5,5]x.（2）假设存在满足条件的直线l，易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为)5(xky由方程组2222221(54)5012520054(5)xykxkxkykx，得依题意25520(1680)055kk，得设交点C),(),(2211yxDyx、，CD的中点为R),(00yx，则45252,4550222102221kkxxxkkxx.4520)54525()5(22200kkkkkxky又|F2C|=|F2D|122RFkklRF12042045251)4520(0222222kkkkkkkkkRF∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|[点评]要注意从判别式得到k的范围，对于条件“|F2C|=|F2D|”不要轻易将点F2和C、D的坐标用两点间距离公式表示，否则陷入计算繁杂的圈套.类型2：关于定点和定值问题策略【题4】已知点P与点F（2，0）的距离比它到直线x＋4＝0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C.直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB.（1）求曲线C的方程。（2）求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标.【题4】（1）解法1：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x＋4＝0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等.由抛物线定义得：点P在以F为焦点直线x＋2＝0为准线的抛物线上，抛物线方程为28yx.解法2：设动点(,)Pxy，则22(2)|4|2xyx当4x时，222(2)(6)xyx，化简得：28(2)yx，显然2x，而4x，此时曲线不存在.当4x时，222(2)(2)xyx，化简得：28yx.[点评]解法1巧妙地利用圆锥曲线的定义判断曲线轨迹，解法2直接利用题目的条件建立等量关系，体现了“分类讨论”的思想方法.（2）设直线L：y=kx+b与抛物线交于点1122(,)(,)xyxy、，①若直线的斜率存在设为k220,880,864320ykxbkkyybyxkb=则{，222211121212222288,648yxyybbyyxxkkyx所以又{，得，1212,1yyOAOBxx由得，即81kb，8bk，直线为(8)ykx，所以(8,0)L过定点②若直线L的斜率不存在，则直线OA（或OB）的斜率为128,(80)8yxxyx{得直线L过定点、综上所述，直线恒过定点(8,0).[点评]直线过定点问题，要将直线方程求出来利用直线方程的点斜式或者直线系方程判断是否经过定点.【题5】已知1F、2F分别为椭圆1C:22221(0)yxabab的上、下焦点,其中1F也是抛物线22:4Cxy的焦点,点M是1C与2C在第二象限的交点,且15||3MF.（1）求椭圆1C的方程.xyOF1··F2M（2）已知点(1,3)P和圆O:222xyb,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点,AB,在线段AB上取一点Q,满足:APPB,AQQB,(0且1).求证:点Q总在某定直线上.【题5】（1）方法一：由22:4Cxy知1(0,1)F,设000(,)(0)Mxyx,………………1分因M在抛物线2C上,故2004xy…①又15||3MF,则0513y……②,由①②解得0263x,023y.…………4分椭圆1C的两个焦点1(0,1)F,2(0,1)F,点M椭圆上,由椭圆定义得2222122622622||||(0)(1)(0)(1)43333aMFMF……6分∴2a,又1c,∴2223bac,∴椭圆1C的方程为22143yx.…………8分方法二：由22:4Cxy知1(0,1)F,设000(,)(0)Mxyx,因M在抛物线2C上,故2004xy…①又15||3MF,则0513y……②,由①②解得0263x,023y.……………4分而点M椭圆上,故有2222226()()331ab即2248193ab…③,又1c,则221ba…④由③④可解得24a,23b,∴椭圆1C的方程为22143yx.………………8分（2）设1122(,),(,)AxyBxy,(,)Qxy,由APPB可得:1122(1,3)(1,3)xyxy,即121213(1)xxyy…10分由AQQB可得:1122(,)(,)xxyyxxyy,即1212(1)(1)xxxyyy故得:222212(1)xxx2222123(1)yyy……………12分两式相加得2222221122()()(1)(3)xyxyxy………………………14分又点,AB在圆223xy上，且1,所以22113xy,22223xy即33xy,∴点Q总在定直线33xy………[点评]关键是向量APPB,AQQB的条件“坐标化”，要证点Q总在某定直线上，则点Q的坐标(,)Qxy满足一个固定的二元一次方程.【题6】已知椭圆C以过点A（1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.【题6】解：（1）由题意，c＝1,可设椭圆方程为2222114xybb因为A在椭圆上，所以2219114bb，解得2b＝3，2b＝34（舍去）所以椭圆方程为22143xy．．．．．．．4分（2）设直线ＡＥ方程：得3(1)2ykx，代入22143xy得22233+4+4(32)4()1202kxkkxk（）设Ｅ（Ex，Ey），Ｆ（Fx，Fy）．因为点Ａ（1，32）在椭圆上，所以2234()12234Ekxk，32EEykxk．．．．．．．8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得2234()12234Fkxk，32FFykxk。所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyykxxkkxxxx即直线EF的斜率为定值，其值为12．．．．．．．12分[点评]圆锥曲线中有关定值的问题，关键要利用相关参数将式子的表达式求出，再利用“整体”的思想，消去参数得到定值.【题7】已知抛物线C:)0(22ppxy上横坐标为4的点到焦点的距离为5.设直线bkxy与抛物线C交于两点),(11yxA，),(22yxB，且ayy||21（0a，且a为常数）.过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线于点D，连结AD、BD得到ABD.求证：①)1(1622kbka；②ABD的面积为定值.【题7】依题意得：452p，解得2p.所以抛物线方程为24yx.由方程组2,4,ykxbyx消去x得：2440kyyb.（※）依题意可知：0k.由已知得124yyk，124byyk.由12yya，得221212()4yyyya，即221616bakk，整理得221616kbak.所以2216(1)akkb.可以求出AB中点222(,)bkMkk，所以点212(,)Dkk，依题意知12211122ABDbkSDMyyak.又因为方程（※）中判别式16160kb，得10kb.所以2112ABDbkSak，由（Ⅱ）可知22116akbk，所以23121632ABDaaSa.又a为常数，故ABDS的面积为定值.类型3：关于不等式证明、求参数的取值范围问题.【题8】已知点P到（0，3），（0，3）的距离之和为4，设P的轨迹是C，并交直线1ykx于A、B两点.（1）求C的方程;（2）若以AB为直径的圆过O点,求此时k的值;（3）若A在第一象限，证明：0kOAOB.【题8】（1）得P的轨迹是椭圆，3c，2a，故21b,故方程为：22214yx（2）依题意设A11(,)xy，B22(,)xy，∵以A