2021版高考数学一轮复习 选修4-5 不等式选讲 第1讲 绝对值不等式课件 理 北师大版

数学选修4－5不等式选讲第1讲绝对值不等式01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_________，当且仅当_________时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么_________________________，当且仅当_____________________时，等号成立．|a|＋|b|ab≥0|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥02．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a_________________________________|x|a_____________________________________________{x|－axa}∅∅{x|xa或x－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔_________________________________；②|ax＋b|≥c⇔______________________________．－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c3．|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想．法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．常用结论1．两个等价关系(1)|x|a⇔－axa(a0)．(2)|x|a⇔x－a或xa(a0)．2．掌握一组主要关系|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a－b0时，等号成立．(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．二、教材衍化1．不等式3≤|5－2x|9的解集为________．解析：由题意得|2x－5|9，|2x－5|≥3，即－92x－59，2x－5≥3或2x－5≤－3，解得－2x7，x≥4或x≤1，所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．答案：(－2，1]∪[4，7)2．不等式|x－1|－|x－5|2的解集是________．解析：①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2，所以－42，不等式恒成立，所以x≤1；②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2，所以x4，所以1x4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为{x|x4}．答案：{x|x4}一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当ab0时等号成立．()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．()(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()×√××√二、易错纠偏常见误区(1)含参数的绝对值不等式讨论不清；(2)存在性问题不能转化为最值问题求解．1．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________．解析：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.答案：22．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)0，求a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x1时，f(x)＝－2(x－1)20；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．绝对值不等式常见的3种解法(1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|c(c0)或|x－a|－|x－b|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[提醒]用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．1．设函数f(x)＝|x＋4|.(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，求a的值；(2)求不等式f(x)1－12x的解集．解：(1)因为f(x)＝|x＋4|，所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4.所以|2a|＝4，所以a＝±2.(2)f(x)＝|x＋4|＝x＋4，x－4，0，x＝－4，－4－x，x－4，所以不等式f(x)1－12x等价于x＋41－12x（x－4），01－12x（x＝－4），－4－x1－12x（x－4），解得x－2或x－10，故不等式f(x)1－12x的解集为{x|x－2或x－10}．2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.(1)求不等式f(x)≤2的解集；(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．解：(1)由f(x)≤2，得x≤1，2－2x≤2或1x4，0≤2或x≥4，2x－8≤2，解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤5}．(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝2－2x，x≤1，0，1x4，2x－8，x≥4，作出函数f(x)的图象，如图所示，易知直线y＝kx－2过定点C(0，－2)，当此直线经过点B(4，0)时，k＝12；当此直线与直线AD平行时，k＝－2.故由图可知，k∈(－∞，－2)∪12，＋∞.绝对值不等式性质的应用(师生共研)设不等式|x－2|a(a∈N+)的解集为A，且32∈A，12∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．【解】(1)因为32∈A，且12∉A，所以32－2a，且12－2≥a，解得12a≤32，又因为a∈N+，所以a＝1.(2)因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3.当且仅当(x＋1)(x－2)≤0即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，经常用于证明含绝对值的不等式．1．若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．解：因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.2．设函数f(x)＝x2－x－15，且|x－a|1.(1)解不等式|f(x)|5；(2)求证：|f(x)－f(a)|2(|a|＋1)．解：(1)因为|x2－x－15|5，所以x2－x－15－5或x2－x－155，即x2－x－100或x2－x－200，解得1－412x1＋412或x－4或x5，所以不等式|f(x)|5的解集为xx－4或x5或1－412x1＋412.(2)证明：因为|x－a|1，所以|f(x)－f(a)|＝|(x2－x－15)－(a2－a－15)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|1·|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，即|f(x)－f(a)|2(|a|＋1)．恒成立与存在性问题(师生共研)(2020·玉溪模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．【解】(1)原不等式等价于x≤－1，－3x≤x＋3或－1x≤12，－x＋2≤x＋3或x12，3x≤x＋3，得－12≤x≤32，故原不等式的解集为x|－12≤x≤32.(2)由f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|＝－3x，x≤－1，－x＋2，－1x≤12，3x，x12，可知当x＝12时，f(x)最小，无最大值，且f(x)min＝f12＝32.设A＝{y|y＝f(x)}，B＝{y|y＝g(x)}，则A＝{y|y≥32}，因为g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|≥|(3x－2m)－(3x－2)|＝|2m－2|，所以B＝{y|y≥|2m－2|}．由题意知A⊆B，所以|2m－2|≤32，所以m∈14，74.故实数m的取值范围为m|14≤m≤74.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合是常用的思维方法．(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题，利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．1．(2020·陕西彬州质监)已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋2|.(1)求函数f(x)的值域；(2)若存在x∈[－2，1]，使f(x)≥x2＋a成立，求a的取值范围．解：(1)依题意可得f(x)＝－5，x≥3，－2x＋1，－2x3，5，x≤－2.当－2x3时，－5－2x＋15，所以f(x)的值域为[－5，5]．(2)因为－2≤x≤1，所以f(x)≥x2＋a可化为－2x＋1≥x2＋a，得存在x∈[－2，1]，使得a≤－x2－2x＋1成立．令g(x)＝－x2－2x＋1＝－(x＋1)2＋2，则当x∈[－2，1]时，g(x)max＝2，所以a的取值范围为(－∞，2]．2．已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－a|(a∈R)．(1)若f(1)11，求a的取值范围；(2)若对任意的