2021版高考数学一轮复习 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程课件 文 新人教A版

数学选修4－4坐标系与参数方程第2讲参数方程01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过__________，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如__________，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝__________，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的__________保持一致．消去参数x＝f(t)g(t)取值范围2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y－y0＝k(x－x0)x＝__________y＝__________(t为参数)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2x＝__________y＝__________(θ为参数且0≤θ2π)x0＋tcosαy0＋tsinαx0＋rcosθy0＋rsinθ名称普通方程参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝________y＝________(t为参数且0≤t2π)抛物线y2＝2px(p0)x＝________y＝________(t为参数)acostbsint2pt22pt常用结论经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝t1＋t22；(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.二、习题改编1．(选修4­4P22例1改编)已知曲线C的参数方程为x＝3t，y＝2t2＋1(t为参数)，点M(－6，a)在曲线C上，则a＝__________．解析：由题意得－6＝3t，a＝2t2＋1，所以t＝－2，a＝9.答案：92．(选修4­4P36例1改编)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2＋22t，y＝22t(t为参数)，与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4交于A，B两点，求|AB|.解：将直线l的参数方式代入圆C的直角坐标方程，得22t－12＋22t－32＝4，即t2－42t＋6＝0，设两交点A，B所对应的参数分别为t1，t2，从而t1＋t2＝42，t1t2＝6，则|AB|＝|t1－t2|＝（t1＋t2）2－4t1t2＝22.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程x＝f（t），y＝g（t）中的x，y都是参数t的函数．()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M→的数量．()(3)已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3.()√√×二、易错纠偏常见误区(1)不注意互化的等价性致误；(2)直线参数方程中参数t的几何意义不清致误．1．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ(θ为参数)，求曲线C的普通方程．解：由x＝2＋sin2θ，0≤sin2θ≤1⇒2≤2＋sin2θ≤3⇒2≤x≤3，x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ⇒x－2＝sin2θ，y＝－1＋1－2sin2θ⇒x－2＝sin2θy＝－2sin2θ⇒2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝1＋3t(t为参数)，曲线C的普通方程为(x－4)2＋(y－3)2＝4，设点M(2，1)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|·|MB|的值．解：设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将x＝2＋t，y＝1＋3t(t为参数)代入(x－4)2＋(y－3)2＝4，得t2－(3＋1)t＋1＝0，所以t1t2＝1，直线l：x＝2＋ty＝1＋3t(t为参数)，可化为x＝2＋12（2t）y＝1＋32（2t），所以|MA|·|MB|＝|2t1||2t2|＝4|t1t2|＝4.参数方程与普通方程的互化(师生共研)已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，曲线C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：x264＋y29＝1，曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．求直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的交点个数．解：将x＝2＋t，y＝－1－t消去参数t得直线x＋y－1＝0；将x＝3cosα，y＝3sinα消去参数α得圆x2＋y2＝9.又圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝223.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C12，0，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝12＋12cos2θ＝cos2θ，yP＝12sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．参数方程的应用(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．【解】(1)因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t2（1＋t2）2＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos(α－π3)＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上和动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2，①弦长l＝|t1－t2|；②M0为弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③|M0M1|·|M0M2|＝|t1t2|.1．已知曲线C的普通方程为x212＋y24＝1，求曲线C的内接矩形周长的最大值．解：由曲线C的直角坐标方程为x212＋y24＝1，可设曲线C上的动点A(23cosα，2sinα)，0απ2，则以A为顶点的内接矩形的周长为4(23cosα＋2sinα)＝16sin(α＋π3)，0απ2.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝π6时取得最大值．2．(2020·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝12t，y＝32t－1(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ＝22sinπ4＋θ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)设点P(0，－1)，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解：(1)将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为3x－y－1＝0.曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝22ρ22sinθ＋22cosθ，即ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，所以x2＋y2＝2y＋2x，故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)将直线l的参数方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2中，得12t－12＋32t－22＝2，化简，得t2－(1＋23)t＋3＝0.可得Δ0，所以此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得t1＋t2＝23＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正．由直线的参数方程中参数的几何意义，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝23＋1.极坐标与参数方程的综合问题(师生共研)(一题多解)(2020·贵州省适应性考试)曲线C1的参数方程为x＝2＋2cosα，y＝2sinα(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(π6α≤π4)的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．【解】(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故曲线C1的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ，即ρ＝4cosθ.由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.(2)法一：射线l的极坐标方程为θ＝α，π6α≤π4，把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cosα，把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝sinαcos2α，所以|OA|·|OB|＝4cosα·sinαcos2α＝4tanα，因为π6α≤π4，所以|OA|·|OB|的取值范围是433，4.法二：射线l的参数方程为x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，π6α≤π4)．把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得t2－4tcosα＝0.解得t1＝0，t2＝4cosα.故|OA|＝|t2|＝4cosα.同理可得|OB|＝sinαcos2α，所以|OA|·|OB|＝4cosα·sinαcos2α＝4tanα，因为π6α≤π4，所以|OA|·|OB|的取值范围是433，4.处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．(一题多解)(2020·济南市模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosα，y＝1＋3sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐