2021版高考数学一轮复习 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程课件 理 北师大版

数学选修4－4坐标系与参数方程第2讲参数方程01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过_____________，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如_________，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝_________，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的_______________保持一致．消去参数x＝f(t)g(t)取值范围2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线y－y0＝k(x－x0)x＝_____________y＝_____________(t为参数)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2x＝_____________y＝_____________(θ为参数且0≤θ2π)x0＋tcosαy0＋tsinαx0＋Rcosθy0＋Rsinθ名称普通方程参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝_____________y＝_____________(t为参数且0≤t2π)抛物线y2＝2px(p0)x＝_____________y＝__________(t为参数)acostbsint2pt22pt常用结论1．直线参数方程的三个应用及一个易错点(1)三个应用：已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．①若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M0M1→||M0M2→|＝|t1t2|，|M1M2→|＝|t2－t1|＝（t2＋t1）2－4t1t2；②若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝t1＋t22；③若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t20.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．2．掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．二、教材衍化1．曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心()A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上解析：选B.由x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ，得cosθ＝x＋1，sinθ＝y－2.所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上．2．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程x＝f（t），y＝g（t）中的x，y都是参数t的函数．()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为αα≠π2的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．()√√(3)方程x＝2cosθ，y＝1＋2sinθ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．()(4)已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3.()√×二、易错纠偏常见误区(1)不注意互化的等价性致误；(2)直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；(3)交点坐标计算出错致错．1．若曲线C的参数方程为x＝1＋cos2θ，y＝sin2θ(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是()A．直线x＋2y－2＝0B．以(2，0)为端点的射线C．圆(x－1)2＋y2＝1D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析：选D.将曲线C的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2，0≤y≤1)．故选D.2．已知直线x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|＝()A．|t1＋t2|B．|t1－t2|C.a2＋b2|t1－t2|D．|t1－t2|a2＋b2解析：选C.依题意，A(x0＋at1，y0＋bt1)，B(x0＋at2，y0＋bt2)，则|AB|＝[x0＋at1－（x0＋at2）]2＋[y0＋bt1－（y0＋bt2）]2＝a2＋b2|t1－t2|.故选C.3．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．解析：由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2①.又x＝t2，y＝22t，消去t，得y2＝8x②.联立①②得x＝2，y＝－4，即交点坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)参数方程与普通方程的互化(自主练透)1．将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝1t，y＝1tt2－1(t为参数)；(2)x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ(θ为参数)．解：(1)由t2－1≥0⇒t≥1或t≤－1⇒0x≤1或－1≤x0.由x＝1t①，y＝1tt2－1②，①式代入②式得x2＋y2＝1.其中0x≤1，0≤y1或－1≤x0，－1y≤0.(2)由x＝2＋sin2θ，0≤sin2θ≤1⇒2≤2＋sin2θ≤3⇒2≤x≤3，x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ⇒x－2＝sin2θ，y＝－1＋1－2sin2θ⇒x－2＝sin2θ，y＝－2sin2θ⇒2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．2．已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，曲线C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：x264＋y29＝1，所以曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2020·安徽宣城模拟)在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝4＋t(t为参数)．(1)若直线l与圆O相交于A，B两点，求弦长|AB|，若点P(2，4)，求|PA|·|PB|的值；(2)以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋23sinθ，圆O和圆C的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．【解】(1)由直线l的参数方程x＝2＋t，y＝4＋t(t为参数)，消去参数t可得x－y＋2＝0，即直线l的普通方程为x－y＋2＝0.圆O的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，根据sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ，可得x2＋y2＝4，所以圆心O到直线l的距离d＝22＝2，故弦长|AB|＝2r2－d2＝22.把直线l的参数方程标准化可得x＝2＋22t，y＝4＋22t，将其代入圆O的方程x2＋y2＝4得t2＋62t＋16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝16.(2)圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋23sinθ，利用ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，可得圆C的普通方程为x2＋y2＝2x＋23y.因为圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝4，所以弦PQ所在直线的直角坐标方程为4＝2x＋23y，即x＋3y－2＝0.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.①弦长l＝|t1－t2|；②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.1．(2020·日照模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ－π3，直线l过点P(0，－3)且倾斜角为π3.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解：(1)曲线C：ρ＝4cosθ－π3⇒ρ＝4cosθcosπ3＋4sinθsinπ3，所以ρ2＝2ρcosθ＋23ρsinθ，即x2＋y2＝2x＋23y，得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝4.直线l的参数方程为x＝12t，y＝－3＋32t(t为参数)．(2)将x＝12t，y＝－3＋32t(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，得12t－12＋32t－232＝4，整理得t2－7t＋9＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝7，t1t2＝9，所以t10，t20，所以|PA|＋|PB|＝t1＋t2＝7.2．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.解：(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3，0)，－2125，2425.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17＝|5sin（θ＋φ）－a－4|17，φ满足tanφ＝34.当－a－4≤0，即a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当－a－40，即a－4时，d的最大值为－a＋117，由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)(2020·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝3＋tcosα