2021版高考数学一轮复习 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系课件 理 北师大版

数学选修4－4坐标系与参数方程第1讲坐标系01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．坐标系(1)伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ0），y′＝μ·y（μ0）的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝_________，tanθ＝_________.x2＋y2yx（x≠0）3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．4．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.常用结论几种简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ2π)圆心为(r，0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ(－π2≤θπ2)圆心为(r，π2)，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θπ)曲线图形极坐标方程过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)，(2)θ＝α和θ＝π＋α过点(a，0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a(－π2θπ2)过点(a，π2)，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0θπ)二、教材衍化1．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B．ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4解析：选A.y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρsinθ＝1－ρcosθ，即ρ＝1sinθ＋cosθ，由0≤x≤1，得0≤y≤1，所以θ∈0，π2.故选A.2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________．解析：法一：由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，－π2.法二：由ρ＝－2sinθ＝2cosθ＋π2，知圆心的极坐标为1，－π2.答案：1，－π2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是2，－π3.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．()(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．()×√√×二、易错纠偏常见误区(1)极坐标与直角坐标的互化致误；(2)求极坐标方程不会结合图形求解致误．1．在极坐标系中，已知点P2，π6，则过点P且平行于极轴的直线方程是()A．ρsinθ＝1B．ρsinθ＝3C．ρcosθ＝1D．ρcosθ＝3解析：选A.先将极坐标化成直角坐标表示，P2，π6转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.2．在极坐标系中A2，－π3，B4，2π3两点间的距离为________．解析：法一(数形结合)：在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.法二：因为A2，－π3，B4，2π3的直角坐标为A(1，－3)，B(－2，23)．所以|AB|＝（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.答案：6平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x′＝12x，y′＝13y后的图形．(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝1.解：伸缩变换x′＝12x，y′＝13y，则x＝2x′，y＝3y′，(1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线．(2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1，则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆．2．求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由x′＝3x，2y′＝y，得x＝x′3，y＝2y′，代入曲线C：x2－y264＝1，得x′29－y′216＝1，即曲线C′的方程为x29－y216＝1，因此曲线C′的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)．3．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆x29＋y24＝1的一个伸缩变换公式为φ：X＝ax（a0），Y＝by（b0），求a，b的值．解：由X＝ax，Y＝by得x＝1aX，y＝1bY，代入x2＋y2＝1中得X2a2＋Y2b2＝1，所以a2＝9，b2＝4，因为a0，b0，所以a＝3，b＝2.(1)平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0）的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)为所求．(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．极坐标与直角坐标的互化(师生共研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解】(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．1．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，解得x＝0，y＝1，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为1，π2即为所求．2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2.所以O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.求曲线的极坐标方程(师生共研)(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B2，π4，C2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1，0)，1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.【解】(1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθπ4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cosθ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sinθ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cosθ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为3，π6或3，π3或3，2π3或3，5π6.求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OA