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规范答题提升课(二)三角综合问题【考题】(12分)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设（sinB-sinC）2＝sin2A-sinBsinC.①(1)求A.②(2)若a＋b＝2c③,求sinC.④2【命题意图】该题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形内角和定理、三角恒等变换求值等,考查转化与化归的数学思想以及数学运算、逻辑推理等核心素养.【模板流程与说明】【规范解答】(1)方法一(化角为边):由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,(★)………………1分故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.…………2分由余弦定理得cosA=.…………3分因为0°A180°,…………4分所以A=60°.…………5分222bca12bc2＝方法二(恒等变换):由三角形内角和定理可得A=π-(B+C).所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,…………2分代入(★)式中,得sin2B+sin2C-(sinBcosC+cosBsinC)2=sinBsinC,展开得sin2B+sin2C-sin2Bcos2C-cos2Bsin2C-2sinBcosCcosBsinC=sinBsinC,即sin2B(1-cos2C)+sin2C(1-cos2B)-2sinBcosCcosBsinC=sinBsinC,也就是2sin2Bsin2C-2sinBsinCcosBcosC=sinBsinC…………3分因为B,C为三角形的内角,所以sinBsinC≠0,所以2sinBsinC-2cosBcosC=1,整理得cos(B+C)=-,………………4分因为0°B+C180°,所以B+C=120°,所以A=180°-(B+C)=60°.…………5分12(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sinA+sin（120°-C）=2sinC,…………6分即cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-.…………8分由于0°C120°,…………9分所以sin(C+60°)=,…………10分故sinC=sin(C+60°-60°)…………11分=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°=.…………12分26322122222624【误区警示】解三角形问题是高考的高频考点,主要考查利用三角形的内角和定理,正、余弦定理,三角形面积公式等知识解题.解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边化角”或“角化边”,另外,要注意a+c,ac,a2+c2三者的关系.【得分要点】送分点:直接展开化简,该步比较简单,属于送分步骤.易错点:没有角的范围扣1分.易错点:角A的单位应和范围的度量一致,即同为角度制或同为弧度制,单位混乱易造成扣分项(扣1分).得分点:因为化简的式子比较复杂,故应先展开后代入,避免代入错误.得分点:利用同角三角函数的平方关系化简,找出等式两边的共同因式sinBsinC.易错点:“sinBsinC≠0”需要说明,否则扣1分.得分点:该步也可以根据三角形内角和定理转化为cos(180°-A)=-,直接化简得到cosA=.从而根据角的范围得到角A的取值.易错点:化一角一函数,容易出现的问题有两个:一是求错系数;二是错用两角和与差的三角函数公式,导致出错.得分点:用到同角三角函数的平方关系求值,故角的范围要说明,否则扣1分.得分点:角的变换,用已知表示所求1212【解题策略】用正、余弦定理求解三角形基本量的方法