搜索
数学第九章平面解析几何规范答题示范(五)解析几何类型一定点、定值问题(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.(1)求点P的轨迹方程；❶(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.❷[建桥寻突破]❶看到求点P的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代入法求轨迹方程.❷看到过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F，想到证明OQ→⊥PF→.[规范解答](1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)，1分得分点①由NP→＝2NM→，得x0＝x，y0＝22y，3分得分点②因为M(x0，y0)在椭圆C上，所以x22＋y22＝1，5分得分点③因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.6分得分点④(2)证明：由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ→＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)，7分得分点⑤OQ→·PF→＝3＋3m－tn，8分得分点⑥OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)，9分得分点⑦由OP→·PQ→＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，10分得分点⑧又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ→·PF＝0，即OQ⊥PF，11分得分点⑨又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12分得分点⑩[评分标准]①设出点的坐标，并求出NP→和NM→得1分；②由NP→＝2NM→，正确求出x0＝x，y0＝22y得2分；③代入法求出x22＋y22＝1得2分；④化简成x2＋y2＝2得1分；⑤求出OQ→和PF→得1分；⑥正确求出OQ→·PF→的值得1分；⑦正确求出OP→和PQ→的坐标得1分；⑧由OP→·PQ→＝1得出－3m－m2＋tn－n2＝1得1分；⑨得出OQ→⊥PF→得1分；⑩写出结论得1分.[解题点津](1)得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分.(2)得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(2)问一定要写出OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分.[核心素养]圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点问题，常与向量巧妙交汇，综合考查考生“数学运算”的核心素养.类型二最值、范围问题(12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值❶，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹方程为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.❷[建桥寻突破]❶看到|EA|＋|EB|为定值，想到点E的轨迹方程可能是椭圆.❷看到四边形MPNQ面积的取值范围，想到四边形MPNQ对角线是否垂直，如何将四边形分别分成三角形求面积，可能利用弦长公式.[规范解答](1)圆A整理为(x＋1)2＋y2＝16，圆心A坐标为(－1，0)，如图，因为BE∥AC，则∠ACB＝∠EBD，由|AC|＝|AD|，则∠ADC＝∠ACD，2分得分点①所以∠EBD＝∠EDB，则|EB|＝|ED|，所以|AE|＋|EB|＝|AE|＋|ED|＝|AD|＝4.4分得分点②所以E的轨迹为一个椭圆，方程为x24＋y23＝1(y≠0).6分得分点③(2)C1：x24＋y23＝1；设l：x＝my＋1，因为PQ⊥l，设PQ：y＝－m(x－1)，联立l与椭圆C1，x＝my＋1，x24＋y23＝1，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0；7分得分点④则|MN|＝1＋m2|yM－yN|＝1＋m236m2＋36（3m2＋4）3m2＋4＝12（m2＋1）3m2＋4；8分得分点⑤圆心A到PQ距离d＝|－m（－1－1）|1＋m2＝|2m|1＋m2，9分得分点⑥所以|PQ|＝2|AQ|2－d2＝216－4m21＋m2＝43m2＋41＋m2，10分得分点⑦所以S四边形MPNQ＝12|MN|·|PQ|＝12·12（m2＋1）3m2＋4·43m2＋41＋m2＝24m2＋13m2＋4＝2413＋1m2＋1∈[12，83).12分得分点⑧[评分标准]①得出∠ACB＝∠EBD，∠ADC＝∠ACD得2分；②得出|AE|＋|EB|＝4得2分；③写出E的轨迹为一个椭圆，得1分；写出椭圆方程x24＋y23＝1(y≠0)再得1分；④联立方程组得出(3m2＋4)y2＋6my－9＝0得1分；⑤正确计算出弦长|MN|得1分，错误不得分；⑥正确计算出圆心A到PQ距离d得1分；⑦正确求出|PQ|得1分，错误不得分；⑧正确计算出四边形MPNQ面积的取值范围得2分.[解题点津](1)第(1)小题先将圆x2＋y2＋2x－15＝0化为标准方程，然后画出图形，结合图形中的线线关系及椭圆的定义确定轨迹方程.(2)第(2)小题联立直线方程与椭圆方程，将其化成关于x或y的一元二次方程.(3)要求四边形MPNQ面积的取值范围，由S四边形MPNQ＝12|MN|·|PQ|，可先利用点到直线的距离公式及勾股定理求出|PQ|，再利用弦长公式求出|MN|.[核心素养]圆锥曲线中的面积问题是高考命题的热点问题，一般涉及三角形及四边形的面积值(取值范围)问题．主要考查考生“直观想象”和“数学运算”的核心素养.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放