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数学第八章立体几何规范答题示范(四)立体几何类型一线面位置关系与体积计算(12分)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；❶(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.❷[建桥寻突破]❶看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直.❷看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比.[规范解答](1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.1分得分点①因为AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.又因为DO∩BO＝O，从而AC⊥平面DOB，3分得分点②故AC⊥BD.4分得分点③(2)连接EO.5分得分点④由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°，7分得分点⑤由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝12AC.8分得分点⑥又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝12BD.故E为BD的中点.9分得分点⑦从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，11分得分点⑧即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.12分得分点⑨[评分标准]①作出辅助线，并用语言正确表述得1分；②得出AC⊥DO和AC⊥BO得1分，由线面垂直的判定写出AC⊥平面DOB，再得1分；③由线面垂直的性质得出结论得1分；④作出辅助线，并用语言正确表述得1分；⑤由勾股定理逆定理得到∠DOB＝90°得2分；⑥由直角三角形的性质得出EO＝12AC得1分；⑦由等边三角形的性质得出E为BD的中点，得1分；⑧得出四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12得2分；⑨正确求出体积比得1分.[解题点津](1)得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC⊥DO，AC⊥BO；第(2)问中BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2等.(2)利用第(1)问的结果：如果第(1)问的结果对第(2)问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO＝AO.[核心素养]空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象”的核心素养.类型二线面位置关系中的探索性问题(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝12AD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB❶，并说明理由；(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.❷[建桥寻突破]❶看到直线CM∥平面PAB，想到利用线面平行的定理进行分析.❷看到平面PAB⊥平面PBD，想到利用面面垂直的判定定理寻找条件进行证明.[规范解答](1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，2分得分点①理由如下：因为AD∥BC，BC＝12AD，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，4分得分点②从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，所以CM∥平面PAB.6分得分点③(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD，从而PA⊥BD.8分得分点④连接BM，因为AD∥BC，BC＝12AD，所以BC∥MD，且BC＝MD.所以四边形BCDM是平行四边形，10分得分点⑤所以BM＝CD＝12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.12分得分点⑥[评分标准]①写出第一步，明确结论得2分；②得出四边形AMCB是平行四边形得2分；③利用线面平行定理得出CM∥平面PAB得2分；④利用线面垂直得出PA⊥BD得2分；⑤得出四边形BCDM是平行四边形得2分；⑥得出结论再得2分.[解题点津](1)明确探索性试题的解题要领是先假设存在，然后采用相关定理或性质进行论证.(2)写全步骤，步步为“赢”在书写解题过程时，对于是得分点的解题步骤一定要写全，阅卷时根据得分点评分，有则得分，无则不得分，如本题中对点M的确定，应遵循“一作”“二证”的原则，如果不全面就会失分.(3)涉及运算要准确在解题过程中，涉及有关长度、角度、面积、体积等计算问题时，一定要细心准确，否则导致思路正确，因运算失误而扣分.[核心素养]探索性的立体几何问题在高考中虽不多见，但作为高考命题的一种题型，要求学生掌握其解决思路及解决问题的途径．此类问题主要考查考生“直观想象”的核心素养.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放