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高考命题新思维之二文物中寻找数学之美【题目】(2019·全国卷Ⅱ第16题)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为________.(本题第一空2分,第二空3分)【试题点评】试题首次设计了两个空,分出了难度梯次,使得不同的考生都有展示自己的平台,加大了试题的区分度.也使文理合卷后的试题结构变化作了有益的探索.试题要求考生根据条件作出正确的界面,将立体问题转化为平面问题,正确分析图形中基本元素及其相互关系.题目侧重于知识的理解和应用,对高中立体几何的教学和学习有积极的引导作用.【命题探源】这道题中的“半正多面体”正是现藏于陕西历史博物馆的馆藏文物西魏大将军独孤信(502年-557年)多面体煤精组印.该印体高4.5厘米,宽4.35厘米,重75.7克,印质地煤精石,是由26个大小不一的正方形和三角形组成的多面体.其中14个正方形印面上刻着规范的楷书阴文,分别为“臣信上疏”“臣信上章”“臣信上表”“臣信启事”“信白笺”“信启事”“大司马印”“大都督印”“刺史之印”“柱国之印”“耶敕”“令”“密”以及“独孤信白书”.14面印文内容不同,各有其用途,是研究北朝印玺制度的珍贵实物资料.这枚印章的主人西魏大将军独孤信是西魏威震四方的一代名将,因战功卓著,拔至宰辅,声名远播.独孤信不仅自身战功赫赫,他的女儿也很有名.他有7个女儿,其中大女儿嫁给了北周明帝宇文毓,七女儿嫁给了隋开国皇帝杨坚,四女儿嫁给了唐代开国皇帝李渊的父亲.因此,人们戏称他为“史上最牛老丈人”.这枚印章不仅见证了主人的荣光,而且是研究北朝印玺制度的珍贵实物资料,它的“科学之美”还给了科学家很多研究的灵感.【高考声音】填空题从过去的一题一空发展到一题两空,目的就是为了更加精确地区分考生.以往的填空题一题一空,没有中间分,考生不是得5分就是得0分,一知半解和功亏一篑是同样的结果.填空题一题两空可以采取平行设计,也可以采取递进设计.平行设计的试题,两空关联性较弱,解答互不影响.递进设计使问题层层深入,对知识地考查更加深入.【解法探究】空间想象能力要求高,物体位置还原是关键,遇到新题别慌乱,题目其实很简单,稳中求胜是关键.立体几何平面化,无论多难都不怕.本题的题眼有两处:一是半正多面体的组成——半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,需提炼出半正多面体的棱长均相等;二是将半正多面体放到正方体中去观察其特征——它的所有顶点都在同一个棱长为1的正方体的表面上,需提炼出GH=BG+BC+CH=1.再利用方程思想,即可轻松求出该半正多面体的棱长.【解析】由图1可知从上数第一层与第三层各有9个面,共18个面,第二层有8个面,所以该半正多面体共有面18+8=26(个).如图所示,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB,与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的棱长于点H,由半正多面体的对称性可知,△BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=x,所以GH=2×x+x=(+1)x,又正方体的棱长为1,所以GH=1,所以(+1)x=1,解得x=-1,即该半正多面体的棱长为-1.答案:26-1222222222【新题试做】沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的___(细管长度忽略不计).如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙,则该沙漏的一个沙时为________秒(精确到1秒);细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此锥形沙堆的高度为________cm.(精确到0.1cm).【解析】开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H=,底面半径为r=,V=πr2H=π××≈39.72,V÷0.02=1986(秒).所以沙全部漏入下部约需1986秒.细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设高为H′,V=π×42×H′=π,H′=≈2.4.锥形沙堆的高度约为2.4cm.答案:19862.4216833＝28433＝1313283163131024816427