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数学第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：______、______、______．(2)元素与集合的关系是______或______关系，用符号______或______表示．(3)集合的表示法：______、______、______．确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)______________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中_______________集合相等集合A，B中元素相同A＝BA⊆B(或B⊇A)AB(或BA)3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝______________A∩B＝______________∁UA＝______________{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}常用结论(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.(4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.二、习题改编1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤2018}，a＝22，则()A．a∈PB．{a}∈PC．{a}⊆PD．a∉P解析：选D.因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2018的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D.2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________．解析：由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)．答案：64一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.()(3)若AB，则A⊆B且A≠B.()(4)N*NZ.()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()××√√×二、易错纠偏常见误区(1)忽视集合的互异性致错；(2)集合运算中端点取值致错；(3)忘记空集的情况导致出错．1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．答案：{－1}2．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)0}，B＝{x|2x4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁RA)∪B＝________.解析：由已知得A＝{x|1x3}，B＝{x|2x4}，所以A∩B＝{x|2x3}，A∪B＝{x|1x4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x2}．答案：(2，3)(1，4)(－∞，1]∪(2，＋∞)3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．解析：易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.答案：0或1或－1集合的基本概念(师生共研)(1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．【解析】(1)由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，所以集合B中有10个元素．(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－32或m＝1(舍去)，当m＝－32时，m＋2＝12≠3，符合题意．所以m＝－32.【答案】(1)D(2)－32与集合中元素有关问题的求解策略1．已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5解析：选C.因为32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.3．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选A.若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.集合间的基本关系(师生共研)(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0x5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－mxm}，若B⊆A，则m的取值范围为______．【解析】(1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．(2)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m0时，因为A＝{x|－1x3}．当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，所以－m≥－1，m≤3，－mm.所以0m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．【答案】(1)D(2)(－∞，1][提醒]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．1．已知集合A＝{x|x2－2x0}，B＝{x|－5x5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B解析：选B.因为A＝{x|x2或x0}，因此A∪B＝{x|x2或x0}∪{x|－5x5}＝R.故选B.2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7B．8C．15D．16解析：选A.法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3．设集合A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}解析：选D.由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，所以a≥2.故选D.集合的基本运算(多维探究)角度一集合的运算(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝()A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7}(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3x1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1}B．{x|x－1或x≥3}C．{x|x≤3}D．{x|x≤－3}【解析】(1)依题意得∁UA＝{1，6，7}，故B∩∁UA＝{6，7}．故选C.(2)因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3x1}，所以A∪B＝{x|x－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D.【答案】(1)C(2)D集合基本运算的求解策略角度二利用集合的运算求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x2}，B＝{x|xa}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1a≤2B．a2C．a≥－1D．a－1(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4【解析】(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a－1.(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.【答案】(1)D(2)D根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2，3}C．{－1，2，3}D．{1，2，3，4}解析：选D.通解：因为A∩C＝{1，2}，B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D.优解：因为B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B中一定含有2，3，4三个元素，故排除A，B，C，选D.2．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1}B．{0}C．{－1，0}D．{－1，0，1}解析：选B.阴影部分对应的集合为A∩∁RB，B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，则∁RB＝{x|－1x1}，则A∩∁RB＝{0}，故选B.3．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)B．[2，＋∞)C．[－2，2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选D.因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.4．已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝NB．M∩(∁UN)＝∅C．M∪N＝UD．M⊆(∁UN)解析：选A.由题意知M＝{x|x1}，N＝{x|0x1}，所以M∩N＝N.又∁UN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁UN)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x1}＝M，M⊆/(∁UN)，故选A.核心素养系列1数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．定义集合的商集运算为AB＝{x|x＝mn，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝k2－1，k∈A}，则集合BA∪B中的元素个数为()A．6B．7C．8D．9【解析】由题意知，B＝{0，1，2}，BA＝{0，12，14，16，1，13}，则BA∪B＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B.【答案】B解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．1．