2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例课件 文 新人教A版

数学第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则____________＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围：向量夹角θ的范围是____________．∠AOB0°≤θ≤180°垂直[注意]当a与b同向时，θ＝0°；a与b反向时，θ＝180°；a与b________时，θ＝90°.2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量__________叫做a与b的数量积，记作a·b投影__________叫做向量a在b方向上的投影，__________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________的乘积|a||b|·cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ[注意]投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝__________.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__________．(3)(a＋b)·c＝__________.b·aa·(λb)a·c＋b·c4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.结论几何表示坐标表示模|a|＝__________|a|＝__________夹角cosθ＝__________cosθ＝________________a⊥b的充要条件________________________a·ax21＋y21a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a·b＝0x1x2＋y1y2＝0常用结论(1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线．(2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(5)a与b同向时，a·b＝|a||b|.(6)a与b反向时，a·b＝－|a||b|.二、习题改编(必修4P108A组T6改编)已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为()A．12B．6C．33D．3解析：选B.a·b＝|a|·|b|cos135°＝－122，所以|b|＝－1224×－22＝6.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)c＝a(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(6)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．()√√××××二、易错纠偏常见误区(1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则BA→·AC→的值为__________．解析：在△ABC中，由余弦定理得cosA＝AC2＋AB2－BC22×AC×AB＝22＋32－（10）22×2×3＝14.所以BA→·AC→＝|BA→||AC→|cos(π－A)＝－|BA→||AC→|·cosA＝－3×2×14＝－32.答案：－322．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－23．已知向量a与b的夹角为π3，|a|＝|b|＝1，且a⊥(a－λb)，则实数λ＝__________．解析：由题意，得a·b＝|a||b|cosπ3＝12，因为a⊥(a－λb)，所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝1－λ2＝0，所以λ＝2.答案：2平面向量数量积的运算(师生共研)(一题多解)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝23，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD→·AE→＝__________．【解析】法一：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则BD→·AE→＝(AD→－AB→)·(AB→＋BE→)＝AD→·AB→＋AD→·BE→－AB2→－AB→·BE→＝5×23×cos30°＋5×2×cos180°－12－23×2×cos150°＝15－10－12＋6＝－1.法二：在△ABD中，由余弦定理可得BD＝25＋12－2×5×23×cos30°＝7，所以cos∠ABD＝12＋7－252×23×7＝－2114，则sin∠ABD＝5714.设BD→与AE→的夹角为θ，则cosθ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos30°－sin∠ABD·sin30°＝－714，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故BD→·AE→＝7×2×－714＝－1.【答案】－1求向量a，b的数量积a·b的两种方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：选C.因为BC→＝AC→－AB→＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，因为|BC→|＝1，所以1＋（t－3）2＝1，所以t＝3，所以BC→＝(1，0)，所以AB→·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(一题多解)(2020·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD→＝32AB→，则CD→·CB→＝()A．－18B．－63C．18D．63解析：选C.通解：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA→·CB→＝0.CD→·CB→＝(CA→＋AD→)·CB→＝CA→·CB→＋32AB→·CB→＝32(CB→－CA→)·CB→＝32CB→2＝18，故选C.优解一：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，23)．由题意得∠CBA＝π6，又AD→＝32AB→，所以D＝(－1，33)，则CD→·CB→＝(－1，33)·(0，23)＝18，故选C.优解二：因为∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，所以CB＝23，所以AB→在CB→上的投影为23，又AD→＝32AB→，所以AD→在CB→上的投影为32×23＝33，则CD→在CB→上的投影为33，所以CD→·CB→＝|CB→|·|CD→|cos〈CD→，CB→〉＝23×33＝18，故选C.平面向量数量积的应用(多维探究)角度一求两平面向量的夹角(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D．5π6(2)已知向量AB→＝(x，1)(x＞0)，AC→＝(1，2)，|BC→|＝5，则AB→，AC→的夹角为()A.2π3B.π6C.π4D．π3【解析】(1)法一：由题意得，(a－b)·b＝0⇒a·b＝|b|2，所以|a||b|·cosa，b＝|b|2，因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cosa，b＝|b|2⇒cosa，b＝12，所以a，b＝π3，故选B.法二：如图，设OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b，所以B＝π2，|OA→|＝2|OB→|，所以∠AOB＝π3，即a，b＝π3.(2)因为BC→＝AC→－AB→＝(1－x，1)，所以|BC→|2＝(1－x)2＋1＝5，即x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1(舍)．设AB→，AC→的夹角为θ，则cosθ＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝22，所以θ＝π4.【答案】(1)B(2)C求向量夹角问题的方法(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.角度二求平面向量的模(1)(一题多解)(2020·唐山市摸底考试)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝__________．(2)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a|＝__________，则当t∈[－3，2]时，|a－tb|的取值范围是__________．【解析】(1)法一：|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3，又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.法二：如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，又e1，e2是单位向量，所以|AB→|＝|AD→|＝1，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，连接AC，BD，所以AC→＝e1＋e2，DB→＝e1－e2，因为|e1＋e2|＝3，即|AC→|＝3，所以∠ABC＝120°，则∠DAB＝60°，所以|DB→|＝1，即|e1－e2|＝1.(2)向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，所以x－2＝0，解得x＝2，所以|a|＝22＋12＝5.|a－tb|2＝a2＋t2b2－2ta·b＝5t2＋5，所以当t＝0时，取得最小值为5；当t＝2时，最大值为25.即|a－tb|的取值范围是[5，5]．【答案】(1)1(2)5[5，5]求向量模长的方法利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a；(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.角度三两平面向量垂直问题已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为__________．【解析】因为AP→⊥BC→，所以AP→·BC→＝0.又AP→＝λAB→＋AC→，BC→＝AC→－AB→，所以(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，即(λ－1)AC→·AB→－λAB→2＋AC→2＝0，所以(λ－1)|AC→||AB→|cos120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×－12－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】712两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.[注意]若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(3，2)，则|a＋2b|＝()A．22B．25C.17D．15解析：选C.因为a－b＝(3，2)，所以|a－b|＝5，所以|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝5－2a·b＝5，则a·b＝0，所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17，所以|a＋2b|＝17.故选C.2．已知在四边形ABCD中，AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形解析：选C.因为AB→＋CD→＝0，所以AB→＝－CD→＝DC→，所以四边形ABCD是平行四边形．又(AB→－AD→)·AC→＝DB→·AC→＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．向量数量积的综合应