2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第3讲 平面向量的数量积及应用举例课件 理 北师大版

数学第五章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用举例01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则_________就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b_________；若θ＝180°，则a与b_________；若θ＝90°，则a与b_________，记作________.∠AOB同向反向垂直a⊥b2．平面向量的数量积定义已知两个向量a，b，它们的夹角为θ，把__________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影_________叫作向量a在b方向上的射影，_________叫作向量b在a方向上的射影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影_________的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影_________的乘积|a||b|·cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ|a|cosθ3.向量数量积的运算律(1)a·b＝_________.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_________．(3)(a＋b)·c＝_________.b·aa·(λb)a·c＋b·c4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝_________|a|＝_________夹角cosθ＝_____________________cosθ＝___________________a⊥b的充要条件____________________________a·ax21＋y21a·b|a||b|x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a·b＝0x1x2＋y1y2＝0常用结论1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.二、教材衍化1．已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为()A．12B．6C．33D．3解析：选B.a·b＝|a||b|cos135°＝－122，所以|b|＝－1224×－22＝6.2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________．解析：因为2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.答案：123．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的射影为________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的射影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.答案：－2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(2)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．()(3)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．()(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()×√××二、易错纠偏常见误区(1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误；(3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________．解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，所以a·b＋b·c＋a·c＝－32.答案：－322．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB→在CD→方向上的射影为________．解析：AB→＝(2，1)，CD→＝(5，5)，由定义知，AB→在CD→方向上的射影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.答案：3223．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－12，所以a·b＝－1×－12＋2×1＝52.答案：52平面向量数量积的运算(师生共研)(一题多解)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若AB→·AC→＝2AB→·AD→，则AD→·AC→＝________．【解析】法一：因为AB→·AC→＝2AB→·AD→，所以AB→·AC→－AB→·AD→＝AB→·AD→，所以AB→·DC→＝AB→·AD→.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|AB→|＝|AB→|·|AD→|cosπ4，化简得|AD→|＝22.故AD→·AC→＝AD→·(AD→＋DC→)＝|AD→|2＋AD→·DC→＝(22)2＋22×2cosπ4＝12.法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由AB→·AC→＝2AB→·AD→，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故AD→·AC→＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.【答案】12平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．[提醒]解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．1．(2020·河南新乡二模)已知a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，c＝(m－2，－1)，若a∥b，则b·c＝()A．－7B．－3C．3D．7解析：选B.因为a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，a∥b，所以1×(m＋3)－2m＝0，所以m＝3，所以b·c＝m(m－2)－(m＋3)＝－3，故选B.2．(一题多解)在▱ABCD中，|AB→|＝8，|AD→|＝6，N为DC的中点，BM→＝2MC→，则AM→·NM→＝________．解析：法一：AM→·NM→＝(AB→＋BM→)·(NC→＋CM→)＝AB→＋23AD→·12AB→－13AD→＝12AB→2－29AD→2＝12×82－29×62＝24.法二(特例图形)：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，则N(4，6)，M(8，4)．所以AM→＝(8，4)，NM→＝(4，－2)，所以AM→·NM→＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.答案：24平面向量数量积的应用(多维探究)角度一平面向量的模(1)已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB→＝2a＋2b，AC→＝2a－6b，D为BC的中点，则|AD→|等于()A．2B．4C．6D．8(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为__________．【解析】(1)因为AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD→|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×3－2×2×3×cosπ6＋4＝4，则|AD→|＝2.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则PA→＋3PB→＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)．所以|PA→＋3PB→|＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)．当y＝34b时，|PA→＋3PB→|min＝5.【答案】(1)A(2)5求向量的模的方法(1)公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积的运算．(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．角度二平面向量的夹角(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________．(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．【解析】(1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，则c＝(2，－5)，所以cos〈a，c〉＝21×4＋5＝23.(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c0，即(2k－3，－6)·(2，1)0，所以4k－6－60，所以k3.【答案】(1)23(2)(－∞，3)(1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．角度三两向量垂直问题(1)(2020·福建厦门一模)已知a＝(1，1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝()A．0B．1C.2D．2(2)已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________．【解析】(1)由题意知a－b＝(－1，1－m)．因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，所以m＝0，所以b＝(2，0)，所以|b|＝2.故选D.(2)因为AP→⊥BC→，所以AP→·BC→＝0.又AP→＝λAB→＋AC→，BC→＝AC→－AB→，所以(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，即(λ－1)AC→·AB→－λAB→2＋AC→2＝0，所以(λ－1)|AC→||AB→|cos120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.【答案】(1)D(2)712(1)当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0.(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.1．已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝()A．－12B．12C．1或－12D．1或12解析：选A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－12，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－12，故选A.2．(2020·安徽黄山模拟)已知向量a，b满足|a|＝4，b在a方向上的投影为－2，则|a－3b|的最小值为()A．12B．10C.10D．2解析：选B.设a与b的夹角为θ.由于b在a方向上的射影为－2，所以|b|cosθ＝a·b|a|＝－2，所以a·b＝－8，又|b|cosθ＝－2，所以|b|≥2，则|a－3b|＝a2－6a·b＋9b2＝64＋9