2021版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件 理 北师大版

数学第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_________一对实数λ1，λ2，使a＝_________．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_________．不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝______________，a－b＝_________________，λa＝_________，|a|＝_________．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(x2－x1，y2－y1)(x2－x1)2＋(y2－y1)2(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝________________________，|AB→|＝___________________．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔__________________．x1y2－x2y1＝0常用结论1．基底需要的关注三点(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．共线向量定理应关注的两点(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．3．两个结论(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为x1＋x22，y1＋y22.(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.二、教材衍化1．若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A．(2，2)B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得P1P→＝13P1P2→或P1P→＝23P1P2→，P1P2→＝(3，－3)．设P(x，y)，则P1P→＝(x－1，y－3)，当P1P→＝13P1P2→时，(x－1，y－3)＝13(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当P1P→＝23P1P2→时，(x－1，y－3)＝23(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．解析：设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.答案：(1，5)解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.答案：－123．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝________．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()×√√×二、易错纠偏常见误区(1)忽视基底中基向量不共线致错；(2)弄不清单位向量反向的含义出错；(3)不正确运用平面向量基本定理出错．1．给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝1，－32，c＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.答案：22．已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量AB→反向的单位向量为________．解析：由已知得AB→＝(12，－5)，所以|AB→|＝13，因此与AB→反向的单位向量为－113AB→＝－1213，513.答案：－1213，5133.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为________．解析：因为E为DC的中点，所以AC→＝AB→＋AD→＝12AB→＋12AB→＋AD→＝12AB→＋DE→＋AD→＝12AB→＋AE→，即AE→＝－12AB→＋AC→，所以λ＝－12，μ＝1，所以λ＋μ＝12.答案：12平面向量基本定理的应用(师生共研)(1)(一题多解)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC→＝3EC→，F为AE的中点，则BF→＝()A.23AB→－13AD→B．13AB→－23AD→C．－23AB→＋13AD→D．－13AB→＋23AD→(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ＝________．【解析】(1)法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以BC→＝GD→＝AD→－AG→＝AD→－12AB→，所以AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23AD→－12AB→＝23AB→＋23AD→，于是BF→＝AF→－AB→＝12AE→－AB→＝1223AB→＋23AD→－AB→＝－23AB→＋13AD→，故选C.法二：BF→＝BA→＋AF→＝BA→＋12AE→＝－AB→＋12AD→＋12AB→＋CE→＝－AB→＋12AD→＋12AB→＋13CB→＝－AB→＋12AD→＋14AB→＋16(CD→＋DA→＋AB→)＝－23AB→＋13AD→.(2)因为AB→＝AN→＋NB→＝AN→＋CN→＝AN→＋(CA→＋AN→)＝2AN→＋CM→＋MA→＝2AN→－14AB→－AM→，所以AB→＝85AN→－45AM→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.【答案】(1)C(2)45平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[提醒]在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1．(2020·宝鸡一模)在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO→＝λAB→＋μAC→，则λ－2μ＝()A．－12B．－1C.43D．－43解析：选D.设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以BO→＝23BD→＝23(BA→＋AD→)＝－23AB→＋23×12AC→＝－23AB→＋13AC→，所以λ＝－23，μ＝13，所以λ－2μ＝－43，故选D.2．已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且OA→与OB→不共线．(1)在△OAB中，点P在AB上，且AP→＝2PB→，若AP→＝rOB→＋sOA→，求r＋s的值；(2)已知点P满足OP→＝mOA→＋OB→(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．解：(1)因为AP→＝2PB→，所以AP→＝23AB→，所以AP→＝23(OB→－OA→)＝23OB→－23OA→，又因为AP→＝rOB→＋sOA→，所以r＝23，s＝－23，所以r＋s＝0.(2)因为四边形OABP为平行四边形，所以OB→＝OP→＋OA→，又因为OP→＝mOA→＋OB→，所以OB→＝OB→＋(m＋1)OA→，依题意OA→，OB→是非零向量且不共线，所以m＋1＝0，解得m＝－1.平面向量的坐标运算(多维探究)角度一已知向量的坐标进行坐标运算(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝()A．(－23，－12)B．(23，12)C．(7，0)D．(－7，0)(2)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c0)，且|OC→|＝2，若OC→＝λOA→＋μOB→，则实数λ＋μ的值为________．【解析】(1)3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.(2)因为|OC→|＝2，所以|OC→|2＝1＋c2＝4，因为c0，所以c＝3.因为OC→＝λOA→＋μOB→，所以(－1，3)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝3，所以λ＋μ＝3－1.【答案】(1)A(2)3－1角度二解析法(坐标法)在向量中的应用(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．(2)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ的最大值为________．【解析】(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝AO→＝(－1，1)，b＝OB→＝(6，2)，c＝BC→＝(－1，－3)．因为c＝λa＋μb，所以(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.(2)以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为212＋22＝25，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝45，因为P在圆C上，所以P(1＋255cosθ，2＋255sinθ)，AB→＝(1，0)，AD→＝(0，2)，AP→＝λAB→＋μAD→＝(λ，2μ)，所以1＋255cosθ＝λ，2＋255sinθ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cosθ＋55sinθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tanφ＝2.【答案】(1)4(2)3(1)向量坐标运算的策略①向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行；②若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标；③解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(2)向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题，更便于计算求解．1．已知平行四边形ABCD中，AD→＝(3，7)，AB→＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO→的坐标为()A.－12，5B．12，5C.12，－5D．－12，－5解析：选D.因为AC→＝AB→＋AD→＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以OC→＝12AC→＝12，5，所以CO→＝－12，－5.2.给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB︵上运动．若OC→＝xO