2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形的综合应用课件 理 北师大版

数学第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形的综合应用01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．常用结论测量中的几种常见问题求AB图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝αBC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可达∠ACB＝α∠ADB＝βCD＝a解两个直角三角形AB＝atanαtanβtanβ－tanα求AB图形需要测量的元素解法求水平距离山两侧∠ACB＝αAC＝bBC＝a用余弦定理AB＝a2＋b2－2abcosα河两岸∠ACB＝α∠ABC＝βCB＝a用正弦定理AB＝asinαsin(α＋β)求AB图形需要测量的元素解法求水平距离河对岸∠ADC＝α∠BDC＝β∠BCD＝δ∠ACD＝γCD＝a在△ADC中，AC＝asinαsin(α＋γ)在△BDC中，BC＝asinβsin(β＋δ)在△ABC中，应用余弦定理求AB二、教材衍化1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为________m.解析：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsinB，又因为∠B＝30°，所以AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．答案：5022．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，所以asin30°＝PBsin15°，所以PB＝6－22a，所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sinγ＋asinβ＝6－22a×sin60°＋asin15°＝22a.答案：22a一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．()√××√√二、易错纠偏常见误区(1)方向角与方位角概念不清；(2)仰角、俯角概念不清；(3)不能将空间问题转化为解三角形问题．1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上，则灯塔A相对于灯塔B的方向为()A．北偏西5°B．北偏西10°C．北偏西15°D．北偏西20°解析：选B.易知∠B＝∠A＝30°，C在B的北偏西40°的方向上，又40°－30°＝10°，故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝________答案：130°3．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部所连的线成30°角，则两条船相距________m.解析：由题意画示意图，如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：103求距离、高度问题(师生共研)(1)(2020·福建宁德5月质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．(2)(2020·吉林长春质量监测(四))《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为______步．(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步)【解析】(1)由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝80sin150°sin15°＝406－24＝40(6＋2)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，得BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝80×sin15°12＝160sin15°＝40(6－2)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋43)＋1600×(8－43)＋2×1600×(6＋2)×(6－2)×12＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝805.故图中海洋蓝洞的口径为805.(2)因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以BFHF＝BCAH.因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以DGHG＝DEAH.又BC＝DE，所以BFHF＝DGHG，即123123＋HB＝127127＋1000＋HB，所以HB＝30750步，又BFHF＝BCAH，所以AH＝5×(30750＋123)123＝1255(步)．【答案】(1)805(2)1255求距离、角度问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可以用，就选择更便于计算的定理．1.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________m.解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，所以∠AQB＝30°，所以AB＝BQ.又PB为公共边，所以△PAB≌△PQB，所以PQ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan60°＝900，故PQ＝900，所以P，Q两点间的距离为900m.答案：9002．为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1m，则发射塔高AB＝________m.解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝40·sin60°sin45°＝206.所以EF＝206，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝206×33＝202，所以AB＝AF＋BF＝202＋1(m)．答案：202＋1测量角度问题(师生共研)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．【解】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒]方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．已知在岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？参考数据：sin38°≈5314，sin22°≈3314解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝5×327＝5314，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．求解几何计算问题(师生共研)(2020·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0∠DABπ2，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为332，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝2π3，求BC的长．【解】(1)因为△ABD的面积S＝12AD×ABsin∠DAB＝12×2×3sin∠DAB＝332，所以sin∠DAB＝32.又0∠DABπ2，所以∠DAB＝π3，所以cos∠DAB＝cosπ3＝12.由余弦定理得BD＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠DAB＝7，由正弦定理得sin∠ABD＝ADsin∠DABBD＝217.(2)法一：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝π2，sin∠DBC＝sinπ2－∠ABD＝cos∠ABD＝1－sin2∠ABD＝277.在△BCD中，由正弦定理CDsin∠DBC＝BDsin∠DCB可得CD＝BDsin∠DBCsin∠DCB＝433.由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋43BC－5＝0，解得BC＝33或BC＝－533(舍去)．故BC的长为33.法二：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝π2，sin∠DBC＝sinπ2－∠ABD＝cos∠ABD＝1－sin2∠ABD＝277.cos∠DBC＝cosπ2－∠ABD＝sin∠ABD＝217.sin∠BDC＝sin(π－∠BCD－∠DBC)＝sin