2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及

数学第四章三角函数、解三角形第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)振幅周期频率相位初相AT＝_____f＝1T＝ω2π_________φ2πωωx＋φ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ_______________________________x____________________________________________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A00π2π3π22π－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φω3.由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种方法常用结论1．两种图象变换的区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度．②先周期变换(伸缩变换)，再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω0)个单位长度．即图象的左右平移变换是针对x而言的，应是x本身加减多少，而不是ωx加减多少．2．周期与对称性之间的关系(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期；(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是12周期．3．对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0，0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0.二、教材衍化1．函数y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A．2，4π，π3B．2，14π，π3C．2，14π，－π3D．2，4π，－π3解析：选C.由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为____________________．解析：从图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k，k∈Z，取φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈6，14.答案：y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈6，14一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin(x－π4)的图象是由y＝sin(x＋π4)的图象向右平移π2个单位得到的．()(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．()×√(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)由图象求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．()√√二、易错纠偏常见误区(1)搞错图象平移的单位长度；(2)搞错横坐标伸缩与ω的关系；(3)搞不清f(x)在x＝π2处取最值；(4)确定不了解析式中φ的值．1．将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3解析：选D.函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin(2x＋π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D.2．函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．解析：根据函数图象变换法则可得．答案：y＝sin12x3．若函数f(x)＝sinωx(0ω2)在区间0，π3上是增加的，在区间π3，π2上是减少的，则ω＝________．解析：由题意知当x＝π3时，函数取得最大值，所以有sinωπ3＝1，所以ωπ3＝π2＋2kπ(k∈Z)，所以ω＝32＋6k(k∈Z)，又0ω2，所以ω＝32.答案：324．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sinφ＝1，即sinφ＝12.因为|φ|π2，所以φ＝π6.答案：π6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(师生共研)已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．【解】(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin(2x＋π3)＝2sinX.列表如下：x－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy＝sinX010－10y＝2sin2x＋π3020－20描点画出图象，如图所示：(3)法一：把y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y＝sinx＋π3的图象；再把y＝sinx＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象；最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象．法二：将y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin(2x＋π3)的图象．(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移φω(ω0，φ0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．1．函数y＝sin(2x＋π6)的图象可以由函数y＝cos2x的图象()A．向右平移π6个单位长度得到B．向右平移π3个单位长度得到C．向左平移π6个单位长度得到D．向左平移π3个单位长度得到解析：选A.将函数y＝cos2x的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y＝sin2x的图象，再将y＝sin2x的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin(2x＋π6)的图象，综上可得，函数y＝sin(2x＋π6)的图象可以由函数y＝cos2x的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A.2．将函数y＝cosx－sinx的图象先向右平移φ(φ0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos2x＋sin2x的图象，则φ，a的可能取值为()A．φ＝π2，a＝2B．φ＝3π8，a＝2C．φ＝3π8，a＝12D．φ＝π2，a＝12解析：选D.将函数y＝cosx－sinx＝2cos(x＋π4)的图象向右平移φ(φ0)个单位长度，可得y＝2cos(x＋π4－φ)的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝2cos(1ax＋π4－φ)的图象，又y＝2cos(1ax＋π4－φ)＝cos2x＋sin2x＝2cos(2x－π4)，所以1a＝2，π4－φ＝－π4＋2kπ(k∈Z)，所以a＝12，又φ0，所以φ＝π2＋2kπ(k∈N)，结合选项知选D.3．(2020·福州模拟)若ω0，函数y＝cos(ωx＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y＝sinωx的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y＝cos(ωx＋π3)的图象向右平移π3个单位长度，得y＝cos(ωx－ωπ3＋π3)的图象．因为所得函数图象与y＝sinωx的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－72－6k(k∈Z)，因为ω0，所以当k＝－1时，ω取得最小值52.答案：52求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(师生共研)(1)如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A0，|φ|π2)的图象过点(0，3)，则f(x)的函数解析式为()A．f(x)＝2sin(2x－π3)B．f(x)＝2sin(2x＋π3)C．f(x)＝2sin(2x＋π6)D．f(x)＝2sin(2x－π6)(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0，0φπ2)的部分图象如图所示，则f(－π3)＝________.【解析】(1)由题意知，A＝2，函数f(x)的图象过点(0，3)，所以f(0)＝2sinφ＝3，由|φ|π2，得φ＝π3，所以f(x)＝2sin(2x＋π3)．故选B.(2)由函数的图象可得A＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，又0φπ2，所以φ＝π3，故f(x)＝2sin(2x＋π3)，所以f(－π3)＝－62.【答案】(1)B(2)－62确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，B＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.1．函数y＝2cos2x＋π6的部分图象是()解析：选A.由y＝2cos2x＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点π6，0，故排除B；又因为函数图象过点－π12，2，故排除C.故选A.2．(2020·安徽黄山毕业班第二次质量检测)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA0，ω0，|φ|π2的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是()A.5π6，－1B．π12，0C.π12，－1D．5π6，0解析：选A.由题图得π3，－1为f(x)图象的一个对称中心，T4＝π3－π12，所以T＝π，从而f(x)图象的对称中心为π3＋kπ2，－1(k∈Z)，当k＝1时，为5π6，－1，选A.三角函数图象与性质的综合应用(多维探究)角度一三角函数图象与性质的综合问题(2020·河南郑州三测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，要使f(a