2021版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.5 离散型随机变量及其分

第五节离散型随机变量及其分布列第十章计数原理、概率、随机变量及其分布2[最新考纲]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3课前自主回顾41．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以的随机变量．一一列出52．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．6(2)分布列的性质①pi0，i＝1,2,3，…，n；②∑ni＝1pi＝.1≥73．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－pp其中p＝P(X＝1)称为成功概率．8(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN9一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．()10X25P0.30.7(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√11二、教材改编1．设随机变量X的分布列如下：X12345P112161316p则p为()A.16B.13C.14D.112C[由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p＝1，∴p＝1－34＝14.]122．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于()A.15B.25C.35D.45D[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－C14C22C36＝45.]133．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是．0,1,2,3[因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.]144．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为．15X012P0.10.60.3[因为X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝C22C25＝0.1，P(X＝1)＝C13·C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C23C25＝0.3，所以X的分布列为X012P0.10.60.3]16课堂考点探究17考点1离散型随机变量的分布列的性质分布列性质的2个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．181.随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝，公差d的取值范围是．1923－13，13[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.]202．设随机变量X的分布列为PX＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求a；(2)求PX≥35；(3)求P110＜X≤710.21[解](1)由分布列的性质，得PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝115.(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.22(3)P110＜X≤710＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋215＋315＝615＝25.23由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．24考点2求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．25已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．26[解](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝A12A13A25＝310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)27＝1－110－310＝610＝35.故X的分布列为X200300400P1103103528求解本题的关键是明确题设限制条件：“不放回”、“直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束”．29袋子中有1个白球和2个红球．(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列．30[解](1)X可能取值1,2,3.P(X＝1)＝1A13＝13，P(X＝2)＝A12×1A23＝13，P(X＝3)＝A22A33＝13.所以X分布列为X123P13131331(2)X可能取值为1,2,3,4,5.P(X＝k)＝23k-1×13，k＝1,2,3,4，P(X＝5)＝234.故X分布列为X12345P1329427881168132(3)因为X～B5，13，所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck513k235-k，k＝0,1,2,3,4,5.X012345P2355×243510×233510×22355×23513533考点3超几何分布求超几何分布的分布列的步骤34端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．35[解](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.36综上知，X的分布列为X123P71571511537[母题探究]1．在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率．[解]由题意知，至少有一个豆沙粽的概率P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝715＋115＝815.382．若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列．[解]由题意知X的所有可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝C33＋C35C310＝1＋10120＝11120，P(X＝3)＝C12C13C15C310＝30120＝14，P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－11120－30120＝79120.39综上可知，X的分布列为X123P11120791201440超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．41在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．42[解](1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C310，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ck3C3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝Ck3C3－k7C310，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为X0123P7242140740112043(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝C13C23C310＝340，P(A2)＝P(X＝2)＝740，P(A3)＝P(X＝3)＝1120.44∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝340＋740＋1120＝31120.Thankyouforwatching!