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数学第十一章统计与统计案例第1讲随机抽样01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中__________________n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时各个个体被抽到的______________，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．(2)常用方法：_________和_____________．逐个不放回地抽取机会都相等抽签法随机数法2．分层抽样(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作_____________，有时也称为类型抽样．(2)适用范围：总体是由__________________组成时．分层抽样差异明显的几个部分3．系统抽样(1)定义：将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．(2)步骤：①先将总体的N个个体编号；②根据样本容量n，当Nn是整数时，取分段间隔k＝Nn；③在第1段用__________________确定第一个个体编号l(l≤k)；④按照一定的规则抽取样本．(3)适用范围：适用于________________________时．简单随机抽样总体中的个体数较多常用结论(1)随机数法编号要求：应保证各号数的位数相同，而抽签法则无限制．(2)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．(3)系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差Nn的整数倍．二、教材衍化1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本解析：选A.由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.故选A.2．在一次游戏中，获奖者可以得到5件不同的奖品，这些奖品要从由1～50编号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为某位获奖者确定5件奖品的编号可以为()A．5，15，25，35，45B．1，3，5，7，9C．11，22，33，44，50D．12，15，19，23，28解析：选A.采用系统抽样的等距抽样法，抽样间距为505＝10，随机抽取第1个奖品号，设为a(1≤a≤10)，则其他奖品号分别为10＋a，20＋a，30＋a，40＋a，所以可知A正确．3．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为________．解析：因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．由B层中每个个体被抽到的概率都为112，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是112，所以总体中的个体数为10÷112＝120.答案：120一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．()(2)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．()(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．()(4)用系统抽样从102个学生中抽取20人，需用简单随机抽样方法剔除2人，这样对被剔除者不公平．()(5)在分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()√×√××二、易错纠偏常见误区(1)随机数表法的规则不熟出错；(2)分层抽样每层抽取的抽样比是相同的；(3)系统抽样中先剔除部分个体，再分段．1．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．01解析：选D.由题意知前5个个体的编号为08，02，14，07，01.2．某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为()A．33，34，33B．25，56，19C．30，40，30D．30，50，20解析：选B.因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25人，56人，19人．故选B.3．某学校为了解高一年级1203名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，若采用系统抽样，则分段间隔为________．解析：因为1203除以40不是整数，所以需随机剔除3个个体，从而每一段有30个个体，则分段间隔为30.答案：30简单随机抽样(自主练透)1．以下抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人，14人，4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：选D.选项A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．2．下列抽样试验中，适合用抽签法的是()A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验解析：选B.因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．3．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号为________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954解析：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785；第二个数916799，舍去；第三个数955799，舍去；第四个数567符合题意，这样再依次读出结果为199，507，175.答案：785，567，199，507，175抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．分层抽样(多维探究)角度一已知各层总数，确定某层的样本数某市有A，B，C三所学校，共有高三文科学生1500人，且A，B，C三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取________人．【解析】设A，B，C三所学校高三文科学生人数分别为x，y，z，由题知x，y，z成等差数列，所以x＋z＝2y，又x＋y＋z＝1500，所以y＝500，用分层抽样方法抽取B校学生人数为1201500×500＝40(人)．【答案】40角度二已知各层总数，某一层的样本数，求另一层样本数或总数某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝________．【解析】依题意得33＋5＋7×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.【答案】90角度三已知某层总数及某层的样本数，求各层样本数或总数某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量(件)1300样本容量(件)130由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被损坏，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________．【解析】设样本的总容量为x，则x3000×1300＝130，所以x＝300.所以A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)，设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，所以y＝80，所以C产品的数量为3000300×80＝800.【答案】800分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．[提醒]分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·NiN(i＝1，2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)．1．某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的问卷调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷数是()A．40B．50C．60D．70解析：选C.由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，在D单位抽取的问卷数为n，则有30a2＝1501000，解得a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1000，即3a2＋a4＝1000，所以a4＝400，所以n400＝1501000，解得n＝60.2．一支田径队有男运动员56人，女运动员m人，用分层抽样抽出一个容量为n的样本，在这个样本中随机选一人当队长的概率为128，且样本中的男队员比女队员多4人，则m＝________．解析：由题意知n＝28，设其中有男队员x人，女队员y人．则x＋y＝28，x－y＝4，56m＝xy，解得x＝16，y＝12，m＝42.答案：423．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数为________．解析：因为某高中共有学生1000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，所以高二年级女生有1000×0.19＝190(人)，则高二年级共有学生180＋190＝370(人)，所以高三年级有1000－370－380＝250(人)，则采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，应在高三年级中抽取的人数为2501000×100＝25.答案：25系统抽样(自主练透)1．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．