2021版高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明课件 文 新

数学第十二章复数、算法、推理与证明第4讲直接证明与间接证明01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是__________和__________．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：________________(顺推证法)．综合法分析法由因导果法(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：____________(逆推证法)．执果索因法2．间接证明反证法：假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出__________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾常用结论1．分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件．2．用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾．二、习题改编1．(选修1­2P42练习T1改编)对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝()A.2sinθB.2cosθC.sin2θD.cos2θ解析：选D.因为cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ，故选D.2．(选修1­2P42练习T2改编)设m＝1＋3，n＝22，则m与n的大小关系是()A.m＞nB.m≥nC.m＜nD.m≤n解析：选C.法一：m2－n2＝(1＋3)2－(22)2＝4＋23－8＝23－4＝12－16＜0，又m＞0，n＞0.所以m＜n，故选C.法二：假设m≥n，即1＋3≥22.则有(1＋3)2≥(22)2，即4＋23≥8，即23≥4，即3≥2，即3≥4，显然错误，所以m＜n，故选C.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．()(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．()√×××√二、易错纠偏常见误区(1)“至少”否定出错；(2)应用分析法寻找的条件不充分．1．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设__________．答案：三角形三个内角都大于60°2．若用分析法证明“设abc且a＋b＋c＝0，求证b2－ac3a”，则索的因是__________(填序号)．①a－b0；②a－c0；③(a－b)(a－c)0；④(a－b)(a－c)0.解析：由abc且a＋b＋c＝0，可得b＝－a－c，a0，c0，要证b2－ac3a，只需证(－a－c)2－ac3a2，即证a2－ac＋a2－c20，即证，a(a－c)＋(a＋c)(a－c)0，即证(a－c)(a－b)0.答案：③综合法(师生共研)(2019·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.【证明】(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC­A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.综合法证题的思路与方法(一题多解)在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即12sin2B－12sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．法二：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．分析法(师生共研)△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.【证明】要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2.又△ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．分析法的证题思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．[提醒]要注意书写格式的规范性．已知m0，a，b∈R，求证：a＋mb1＋m2≤a2＋mb21＋m.证明：因为m0，所以1＋m0.所以要证原不等式成立，只需证(a＋mb)2≤(1＋m)·(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．反证法(师生共研)设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．【证明】由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．反证法证明数学命题的步骤应用反证法时，当原命题结论反面有多种情况时，要对结论的反面的每一种情况都进行讨论，从而达到否定结论的目的．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．证明：假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，即ac＋bd＋ad＋bc＝1，又ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，与题设矛盾，故假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个是负数．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放