2021版高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第3讲 合情推理与演绎推理课件 文 新

数学第十二章复数、算法、推理与证明第3讲合情推理与演绎推理01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．推理(1)定义：根据一个或几个已知的__________来确定一个新的__________的思维过程．(2)分类：推理_______________________判断判断合情推理演绎推理2．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由__________到__________、由__________到__________的推理由________到________的推理部分整体个别一般特殊特殊角度二完善程序框图3.演绎推理(1)定义：从________________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由__________到__________的推理．(3)模式：三段论①大前提：已知的__________；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对____________做出的判断.一般性的原理一般特殊一般原理特殊情况常用结论1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明．2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误．3．应用三段论解决问题，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的．二、习题改编1．(选修1­2P25例3改编)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b0⇒ab”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z20⇒z1z2”．其中类比得到的结论正确的是__________．答案：①②2．(选修1­2P23例2改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是__________．解析：由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；a4＝a3＋2×4－1＝16，所以猜想an＝n2.答案：an＝n2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()×√××二、易错纠偏常见误区(1)归纳推理没有找出规律；(2)类比推理类比规律错误．1．数列2，5，11，20，x…中的x等于__________．解析：由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.答案：322．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶8归纳推理(多维探究)角度一与数字(数列)有关的推理观察下列等式：1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…据此规律，第n个等式可为__________．【解析】等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.【答案】1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n角度二与式子有关的推理设函数f(x)＝xx＋2(x0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝__________．【解析】根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2，4，8，16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝x（2n－1）x＋2n.【答案】x（2n－1）x＋2n角度三与图形变化有关的推理我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为()A.f(n)＝2n－1B.f(n)＝2n2C.f(n)＝2n2－2nD.f(n)＝2n2－2n＋1【解析】我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.【答案】D(1)归纳推理的常见类型及求解策略①数的归纳．包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，还需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．②形的归纳．主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系．(2)运用归纳推理的思维步骤1.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5＋a11的值为()A.528B.1020C.1038D.1040解析：选D.a1＝1，a2＝2，a3＝4＝22，a4＝8＝23，a5＝16＝24，…，所以an＝2n－1，a5＋a11＝24＋210＝1040，故选D.2．如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，…，则第2018个图形用的火柴根数为()A.2014×2017B.2015×2016C.3024×2018D.3027×2019解析：选D.由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1；第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)；第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)；…由此，可以推出第n个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n)．所以第2018个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2018)＝3×2018×（2018＋1）2＝3027×2019.【解】如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，在四面体P­DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．类比推理(典例迁移)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【迁移探究】(变条件)若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋b2c2＝1.于是把结论类比到四面体P­A′B′C′中，我们猜想，四面体P­A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.1．二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝43πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝()A.2πr4B.3πr4C.4πr4D.6πr4解析：选A.二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝43πr3，43πr3′＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，因为(2πr4)′＝8πr3，所以“超球”的四维测度W＝2πr4，故选A.2．在正项等差数列{an}中有a41＋a42＋…＋a6020＝a1＋a2＋…＋a100100成立，则在正项等比数列{bn}中，类似的结论为__________．解析：由等差数列的性质知，a41＋a42＋…＋a6020＝10（a41＋a60）20＝a1＋a1002，a1＋a2＋…＋a100100＝50（a1＋a100）100＝a1＋a1002，所以a41＋a42＋…＋a6020＝a1＋a2＋…＋a100100.在正项等比数列{bn}中，类似的有：20b41b42…b60＝20（b41b60）10＝20（b1b100）10＝b1b100，100b1b2b3…b100＝100（b1b100）50＝b1b100，所以20b41b42b43…b60＝100b1b2b3…b100，所以在正项等比数列{bn}中，类似的结论为20b41b42b43…b60＝100b1b2b3…b100.答案：20b41b42b43…b60＝100b1b2b3…b100演绎推理(师生共研)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N*)．证明：(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.【证明】(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故Sn＋1n＋1＝2·Snn，(小前提)故Snn是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，所以Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)．又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调递增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[