2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性课

数学第三章导数及其应用第2讲导数的应用第1课时导数与函数的单调性01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为__________．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为__________．增函数减函数2．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧_________，则点a叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_________，则点b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)03．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是增加的，则______为函数的最小值，______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上是减少的，则______为函数的最大值，______为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的______；②将函数y＝f(x)的各______与______处的函数值f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．极值极值端点常用结论1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．二、教材衍化1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数B．在区间(1，3)上f(x)是减函数C．在区间(4，5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值解析：选C.在(4，5)上f′(x)0恒成立，所以f(x)是增函数．2．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：选D.f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2(x0)，当0x2时，f′(x)0，当x2时，f′(x)0，所以x＝2为f(x)的极小值点．3．函数y＝x＋2cosx在区间0，π2上的最大值是________．解析：因为y′＝1－2sinx，所以当x∈0，π6时，y′0；当x∈π6，π2时，y′0.所以当x＝π6时，ymax＝π6＋3.答案：π6＋3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内是增加的，那么一定有f′(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()×√√×√二、易错纠偏常见误区(1)原函数与导函数的关系不清致误；(2)极值点存在的条件不清致误；(3)忽视函数的定义域．1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点解析：选C.导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．2．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.因为函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，所以方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，因为当x0时，－ex－1，所以a＝－ex－1.答案：(－∞，－1)3．函数f(x)＝x－lnx的减区间为________．解析：由f′(x)＝1－1x0，得1x1，即x1，又x0，所以函数f(x)的减区间为(0，1)．答案：(0，1)不含参数函数的单调性(自主练透)1．函数y＝4x2＋1x的增区间为()A．(0，＋∞)B．12，＋∞C．(－∞，－1)D．－∞，－12解析：选B.由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2，令y′0，即8x－1x20，解得x12，所以函数y＝4x2＋1x的增区间为12，＋∞.故选B.2．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上是增加的B．在(0，＋∞)上是减少的C．在0，1e上是增加的D．在0，1e上是减少的解析：选D.因为函数f(x)＝xlnx，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x0)，当f′(x)0时，解得x1e，即函数的增区间为1e，＋∞；当f′(x)0时，解得0x1e，即函数的减区间为0，1e，故选D.3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的增区间是________．解析：f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，令f′(x)＝xcosx0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2和0，π2，即f(x)的增区间为－π，－π2和0，π2.答案：－π，－π2和0，π2求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)0，得增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)0，得减区间．[提醒]求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．含参数函数的单调性(师生共研)已知f(x)＝a(x－lnx)＋2x－1x2，a＞0.讨论f(x)的单调性．【解】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－ax－2x2＋2x3＝（ax2－2）（x－1）x3＝a（x－1）x3x－2ax＋2a.(1)当0a2时，2a1，当x∈(0，1)或x∈2a，＋∞时，f′(x)0，f(x)是增加的，当x∈1，2a时，f′(x)0，f(x)是减少的．(2)当a＝2时，2a＝1，在x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x)是增加的．(3)当a2时，02a1，当x∈0，2a或x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)是增加的，当x∈2a，1时，f′(x)0，f(x)是减少的．综上所述，当0a2时，f(x)在(0，1)内是增加的，在1，2a内是减少的，在2a，＋∞内是增加的；当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内是增加的；当a2时，f(x)在0，2a内是增加的，在2a，1内是减少的，在(1，＋∞)内是增加的．解决含参数函数的单调性问题应注意的2点(1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a0)，讨论函数y＝f(x)的单调区间．解：f′(x)＝exex＋1－a＝1－1ex＋1－a.①当a≥1时，f′(x)0恒成立，所以当a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上是减少的．②当0a1时，由f′(x)0，得(1－a)(ex＋1)1，即ex－1＋11－a，解得xlna1－a，由f′(x)0，得(1－a)(ex＋1)1，即ex－1＋11－a，解得xlna1－a.所以当a∈(0，1)时，函数y＝f(x)在lna1－a，＋∞上是增加的，在－∞，lna1－a上是减少的．综上，当a∈[1，＋∞)时，f(x)在R上是减少的；当a∈(0，1)时，f(x)在lna1－a，＋∞上是增加的，在－∞，lna1－a上是减少的．函数单调性的应用(多维探究)角度一比较大小或解不等式(1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)(2)已知定义在0，π2上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈0，π2，都有f′(x)sinxf(x)cosx，则()A.3fπ42fπ3B．fπ3f(1)C.2fπ6fπ4D．3fπ6fπ3【解析】(1)由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上是增加的，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B.(2)令g(x)＝f(x)sinx，则g′(x)＝f′(x)sinx－f(x)cosxsin2x，由已知得g′(x)0在0，π2上恒成立，所以g(x)在0，π2上是减少的，所以gπ4gπ3，即fπ422fπ332，所以3fπ42fπ3.【答案】(1)B(2)A角度二已知函数的单调性求参数已知函数f(x)＝lnx－12ax2－2x(a≠0)．(1)若函数f(x)存在减区间，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在[1，4]上是减少的，求a的取值范围．【解】(1)f(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1x－ax－2，由于f(x)在(0，＋∞)上存在减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2＜0有解．即a＞1x2－2x有解，设G(x)＝1x2－2x，所以只要a＞G(x)min即可．而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1.所以a＞－1.(2)由f(x)在[1，4]上是减少的得，当x∈[1，4]时，f′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1，4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，即a的取值范围是－716，＋∞.【迁移探究1】(变问法)若函数f(x)在[1，4]上是增加的，求a的取值范围．解：由f(x)在[1，4]上是增加的得，当x∈[1，4]时，f′(x)≥0恒成立，所以当x∈[1，4]时，a≤1x2－2x恒成立，又当x∈[1，4]时，1x2－2xmin＝－1(此时x＝1)，所以a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1]．【迁移探