搜索
第二节利用导数研究函数的单调性内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.利用导数研究函数的单调性(1)前提条件:函数f(x)在(a,b)内可导必备知识·自主学习(2)导数与函数单调性的关系2.由导数求单调区间的步骤f′(x)0f(x)在(a,b)上为_______.f′(x)0f(x)在(a,b)上为_______.f′(x)=0f(x)在(a,b)上为_________.增函数减函数常数函数必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在(a,b)内f′(x)≤0,且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.()(2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减.()(3)已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f′(x)0恒成立.()必备知识·自主学习提示:(1)√.(2)×.不一定,如函数y=的导函数y′=-0恒成立,但是函数y=的图象不是恒下降的.(3)×.不一定,如y=x3在[-1,3]上单调递增,但是y′=3x2在x=0处的值为0.1x21x1x必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽视定义域优先的原则考点一、T1,22分类讨论时分类标准出错考点二、例3已知单调性求参数的问题时,所列不等式是否取等号出错考点三、角度3必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(选修2-2P29例3改编)函数f(x)=x-lnx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-,令f′(x)0,得0x1.1x1xx－＝必备知识·自主学习2.(选修2-2P29例2改编)已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是()必备知识·自主学习【解析】选D.由题图可知,当x0和xx1时,导函数f′(x)=ax2+bx+c0,知相应的函数f(x)在该区间上单调递减;当0xx1时,导函数f′(x)=ax2+bx+c0,知相应的函数f(x)在该区间上单调递增.必备知识·自主学习3.(选修2-2P29练习T3改编)利用导数讨论指数函数f(x)=ax(a0,a≠1)的单调性.【解析】指数函数f(x)=ax的定义域为R,因为f′(x)=axlna,对于任意x∈R,总有ax0,所以当0a1时,lna0,f′(x)0,函数在R上单调递减,当a1时,lna0,f′(x)0,函数在R上单调递增.综上,当0a1时,函数f(x)=ax单调递减,当a1时,函数f(x)=ax单调递增.核心素养·微专题解题新思维构造法的应用【结论】构建新函数解答比较大小和不等式问题分析已知条件的特点构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较.核心素养·微专题【典例】(2020·苏州模拟)若0x1x2a都有x2lnx1-x1lnx2x1-x2成立,则a的最大值为()A.B.1C.eD.2e【解析】选B.原不等式可转化为构造函数f(x)=,f′(x)=,故函数在(0,1)上导数大于零,单调递增,在(1,+∞)上导数小于零,单调递减.由于x1x2且f(x1)f(x2),故x1,x2在区间(0,1)上,故a的最大值为1.1212121lnx1lnxxx，1lnxx2lnxx核心素养·微专题【迁移应用】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时不等式f(x)+xf′(x)0成立,若a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),c=,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cbaC.acbD.cab3311logf(log)99核心素养·微专题【解析】选D.令h(x)=xf(x),因为函数y=f(x)以及函数y=x是R上的奇函数,所以h(x)=xf(x)是R上的偶函数.又因为当x0时,h′(x)=f(x)+xf′(x)0,所以函数h(x)在x∈(-∞,0)时单调递减,所以h(x)在x∈(0,+∞)时单调递增.因为a=30.3·f(30.3)=h(30.3),b=logπ3·f(logπ3)=h(logπ3),c==(-2)·f(-2)3311logf(log)99核心素养·微专题=h(-2)=h(2),且0logπ3130.330.52,所以h(2)h(30.3)h(logπ3),即cab.核心素养测评