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第四节数列求和内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.等差数列、等比数列求和公式法(1)等差数列的前n项和公式Sn==____________.(2)等比数列的前n项和公式Sn=1nn(aa)21n(n1)nad211nnaq1,_____________.aaq1q，n1a(1q),q11q必备知识·自主学习2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.必备知识·自主学习(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常见的裂项技巧2aaa1111()n(nk)knnk1111()4n122n12n111(nkn)knnk1log(1)log(n1)lognn0).n①；②；③；④＋＋（必备知识·自主学习(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.必备知识·自主学习3.几个常用公式(1)1+2+3+4+…+n=__________.(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=__.(3)2+4+6+8+…+2n=____.(4)12+22+…+n2=____________.(5)13+23+33+…+n3=__________.n2n2+nn(n1)221[n(n1)]2＋n(n1)(2n1)6必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和为Sn=.()(2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°可用倒序相加求和.()(3)当n≥2时,.()(4)求数列的前n项和可用分组求和.()(5)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求解.()1n1aa1q＋21111()n12n1n1＝n1{2n3}2＋＋必备知识·自主学习提示:(1)√.因为数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和为Sn=(2)√.因为sin21°+sin289°=sin22°+sin288°=sin23°+sin287°=1,所以sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°可用倒序相加求和.(3)√.因为(4)√.因为数列是一个等比数列与一个等差数列的和数列,所以求数列的前n项和可以用分组求和.(5)×.要分a=0或a=1或a≠0且a≠1讨论求解.nn1n1111aaa(1q)aaq.1q1q1q＋＝＝21111n1(n1)1().2n1n12(n1)(n1)n1＝＝n1{2n3}2＋＋n1{2n3}2＋＋n1{}2必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽视通项的特征考点一、T1,32运算错误考点一、T4考点二、典例3不能进行合理转化考点一、T5必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(必修5P33例3改编)数列{an}中,an=,若{an}的前n项和为,则项数n为()A.2018B.2019C.2020D.2021【解析】选C.an=Sn=所以n=2020.1n(n1)20202021111n(n1)nn1，111111n2020(1)()()1223nn1n1n12021＋＋＋，…必备知识·自主学习2.(必修5P68复习题T12改编)()n113n2282＋＋＋＋…nn1nnnn1n1n2n2n2A.B.222n12n2C.D.22＋＋＋＋＋必备知识·自主学习【解析】选B.n23n123nS2222令＝＋＋＋＋，①…n23nn1n23nn1nn1nn1n112n1nS2222211111nS22222211[1()]n2n222S.12212＋＋＋＋＝＋＋＋＋，②①②得，＝＋＋＋＋＝，所以＝……必备知识·自主学习3.(必修5P61习题2.3(2)T5改编)数列…,(2n-1)+,…的前n项和Sn的值等于()A.n2+1-B.2n2-n+1-C.n2+1-D.n2-n+1-【解析】选A.Sn=[1+3+5+7+…+(2n-1)]+1111135724816，，，，n12n12n12n12n-112n11111()248162＋＋＋＋＋…n2n11[1()]n(12n1)122n1.12212＋＋核心素养测评