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数学第七章不等式第1讲不等关系与不等式01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔a_________ba－b＝0⇔a_________b(a，b∈R)a－b0⇔a_________b.＝(2)作商法ab1⇔a_________bab＝1⇔a_________b(a∈R，b0)ab1⇔a_________b.＝2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab⇔_________⇔传递性ab，bc⇒_________⇒可加性ab⇔_______________⇔对乘性abc0⇒_________注意c的符号abc0⇒_________baaca＋cb＋cacbcacbc性质性质内容特别提醒同向可加性abcd⇒______________⇒同向同正可乘性ab0cd0⇒_________⇒可乘方性ab0⇒_________(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性ab0⇒_________(n∈N，n≥2)a＋cb＋dacbdanbnnanb常用结论(1)倒数的性质①ab，ab0⇒1a1b；②a0b⇒1a1b；③ab0，0cd⇒acbd；④0axb或axb0⇒1b1x1a.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则①bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)；②aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．二、教材衍化1．若a，b都是实数，则“a－b0”是“a2－b20”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.a－b0⇒ab⇒ab⇒a2b2，但由a2－b20⇒/a－b0.2．15－2______16－5(填“”“”或“＝”)．解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋26＋5，所以15－216－5.答案：3．若0ab，且a＋b＝1，则将a，b，12，2ab，a2＋b2从小到大排列为________．解析：令a＝13，b＝23，则2ab＝2×13×23＝49，a2＋b2＝19＋49＝59，故a2ab1259＝a2＋b2b.答案：a2ab12a2＋b2b一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种．()(2)若ab1，则ab.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()×√×(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(5)ab0，cd0⇒adbc.()(6)若ab0，则ab⇔1a1b.()×√√二、易错纠偏常见误区(1)乱用不等式的相乘性致错；(2)命题的必要性出错；(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．1．若ab0，cd0，则下列结论正确的是()A.ac－bd0B．ac－bd0C.adbcD．adbc解析：选D.因为cd0，所以0－d－c，又0ba，所以－bd－ac，即bdac，又因为cd0，所以bdcdaccd，即bcad.2．设a，b∈R，则“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得a＋b2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab2×1＝2.即“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分条件；反之，若“a＋b3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a＝6，b＝12.所以“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．若－π2αβπ2，则α－β的取值范围是________．解析：由－π2απ2，－π2－βπ2，αβ，得－πα－β0.答案：(－π，0)比较两个数(式)的大小(自主练透)1．已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定解析：选B.M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－10，a2－10.所以(a1－1)(a2－1)0，即M－N0，所以MN.2．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．ABD．AB解析：选B.由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.3．(一题多解)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac解析：选B.法一：易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log81641.所以ab；bc＝5ln44ln5＝log62510241.所以bc.即cba.法二：对于函数y＝f(x)＝lnxx，y′＝1－lnxx2，易知当xe时，函数f(x)是减少的．因为e345，所以f(3)f(4)f(5)，即cba.比较两个数(式)大小的3种方法不等式的性质(自主练透)1．已知a，b，c，d为实数，则“ab且cd”是“ac＋bdbc＋ad”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为cd，所以c－d0.又ab，所以两边同时乘以(c－d)，得a(c－d)b(c－d)，即ac＋bdbc＋ad.若ac＋bdbc＋ad，则a(c－d)b(c－d)，也可能ab且cd，所以“ab且cd”是“ac＋bdbc＋ad”的充分不必要条件．2．已知abc且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2b2c2B．a|b|c|b|C．bacaD．cacb解析：选D.因为abc且a＋b＋c＝0，所以a0，c0，b的符号不定，对于ba，两边同时乘以正数c，不等号方向不变．3．若1a1b0，则下列不等式①a＋bab；②|a||b|；③ab；④abb2中，正确的是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析：选C.因为1a1b0，所以ba0，a＋b0，ab0，所以a＋bab，|a||b|，在ba两边同时乘以b，因为b0，所以abb2.因此正确的是①④.4．若a0b－a，cd0，则下列结论①adbc；②ad＋bc0；③a－cb－d；④a(d－c)b(d－c)中，成立的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.因为a0b，cd0，所以ad0，bc0，所以adbc，故①错误．因为a0b－a，所以a－b0，因为cd0，所以－c－d0，所以a(－c)(－b)(－d)，所以ac＋bd0，所以ad＋bc＝ac＋bdcd0，故②正确．因为cd，所以－c－d，因为ab，所以a＋(－c)b＋(－d)，a－cb－d，故③正确．因为ab，d－c0，所以a(d－c)b(d－c)，故④正确，故选C.解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．[提醒]利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．不等式性质的应用(典例迁移)已知－1x4，2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【解析】因为－1x4，2y3，所以－3－y－2，所以－4x－y2.由－1x4，2y3，得－33x12，42y6，所以13x＋2y18.【答案】(－4，2)(1，18)【迁移探究1】(变条件)若将本例条件改为“－1xy3”，求x－y的取值范围．解：因为－1x3，－1y3，所以－3－y1，所以－4x－y4.又因为x＜y，所以x－y0，所以－4x－y0，故x－y的取值范围为(－4，0)．【迁移探究2】(变条件)若将本例条件改为“－1x＋y4，2x－y3”，求3x＋2y的取值范围．解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则m＋n＝3，m－n＝2，所以m＝52，n＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又因为－1x＋y4，2x－y3，所以－5252(x＋y)10，112(x－y)32，所以－3252(x＋y)＋12(x－y)232，即－323x＋2y232，所以3x＋2y的取值范围为－32，232.求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．1．若1α3，－4β2，则α－|β|的取值范围是________．解析：因为－4β2，所以0≤|β|4，所以－4－|β|≤0.所以－3α－|β|3.答案：(－3，3)2．已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．解：由题意知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.则m＋n＝4，m－n＝－2，解得m＝1，n＝3.所以f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，所以5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范围为[5，10]．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放