2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和课件 文 新人教A版

数学第六章数列第3讲等比数列及其前n项和01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：一个数列从__________起，每一项与它的前一项的__________都等于__________一个常数(非零)．②符号语言：__________＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么__________叫做a与b的等比中项．即G2＝__________．第2项比同an＋1anGab2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝__________．(2)前n项和公式：Sn＝_____，q＝1_______________＝_________，q≠1.a1（1－qn）1－qa1－anq1－qa1qn－1na13．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝__________＝__________；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．ap·aqa2r常用结论1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列与指数函数的关系当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)二、习题改编1．(必修5P53练习T3改编)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：选D.设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a26＝a3·a9.2．(必修5P53习题T1改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝54，a2＋a4＝52，则q＝__________．答案：23．(必修5P54A组T8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．解析：设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.答案：27，81一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(5)等比数列中不存在数值为0的项．()××××√二、易错纠偏常见误区(1)运用等比数列的前n项和公式时，忽略q＝1的情况；(2)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件；(3)对等比数列项的符号不能作出正确判断．1．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12解析：选C.当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，a1q2＝7，a1（1－q3）1－q＝21，得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.2．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝__________．解析：因数列{an}为等比数列，则a25＝a3a7＝16，又a3＞0，所以a5＝4.答案：43．在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为__________．解析：设a2与a10的等比中项为G，因为a2＝4，a10＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.答案：±8等比数列的基本运算(师生共研)(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝34，则S4＝__________．(2)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.则an＝__________．【解析】(1)通解：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝34，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝a1（1－q3）1－q＝34，得1＋q＋q2＝34，解得q＝－12，所以S4＝a1（1－q4）1－q＝1×1－－1241－－12＝58.优解一：设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝34，a1＝1，所以1＋q＋q2＝34，解得q＝－12，所以a4＝a1·q3＝－123＝－18，所以S4＝S3＋a4＝34＋－18＝58.优解二：设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1.设数列{an}的前n项和Sn＝A(1－qn)(其中A为常数)，则a1＝S1＝A(1－q)＝1①，S3＝A(1－q3)＝34②，由①②可得A＝23，q＝－12.所以S4＝23×1－－124＝58.(2)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.【答案】(1)58(2)22n－1解决等比数列有关问题的常见数学思想(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn或a11－q当成整体进行求解．1．(一题多解)(2020·福州市质量检测)等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝()A．32B．31C．64D．63解析：选B.通解：设首项为a1，公比为q，因为an＞0，所以q＞0，由条件得a1·q2＝4，a1q·a1q5＝64，解得a1＝1，q＝2，所以S5＝31，故选B.优解：设首项为a1，公比为q，因为an＞0，所以q＞0，由a2a6＝a24＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2解析：选C.设等比数列{an}的公比为q(q0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，则t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝a1（1－q4）1－q＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故选C.3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则()A．数列{an}的公比为2B．数列{an}的公比为8C.S6S3＝8D．S6S3＝4解析：选A.因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以a6a3＝q3＝8，解得q＝2，所以S6S3＝1－q61－q3＝1＋q3＝9.等比数列的判定与证明(典例迁移)(1)已知数列{an}是等比数列，则下列命题不正确的是()A．数列{|an|}是等比数列B．数列{anan＋1}是等比数列C．数列1an是等比数列D．数列{lga2n}是等比数列(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．【解】(1)选D.因为数列{an}是等比数列，所以an＋1an＝q.对于A，|an＋1||an|＝an＋1an＝|q|，所以数列{|an|}是等比数列，A正确；对于B，an＋1an＋2anan＋1＝q2，所以数列{anan＋1}是等比数列，B正确；对于C，1an＋11an＝anan＋1＝1q，所以数列1an是等比数列，C正确；对于D，lga2n＋1lga2n＝2lgan＋12lgan＝lgan＋1lgan，不一定是常数，所以D错误．(2)证明：因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．【迁移探究1】(变问法)若本例(2)中的条件不变，试求{an}的通项公式．解：由(2)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以an＋12n＋1－an2n＝34，故an2n是首项为12，公差为34的等差数列．所以an2n＝12＋(n－1)·34＝3n－14，所以an＝(3n－1)·2n－2.【迁移探究2】(变条件)在本例(2)中，若cn＝an3n－1，证明：数列{cn}为等比数列．证明：由[迁移探究1]知，an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.所以cn＋1cn＝2n－12n－2＝2，又c1＝a13×1－1＝12，所以数列{cn}是首项为12，公比为2的等比数列．等比数列的判定方法(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．[提醒](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋16，则a的值为()A．－13B.13C．－12D．12解析：选A.法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋16，所以a＋16＝a2，所以a＝－13.法二：因为等比数列的前n项和Sn＝k×qn－k，则12a＝－16，a＝－13.2．(2019·高考全国卷Ⅱ节选)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列．证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．等比数列的性质及应用(多维探究)角度一等比数列项的性质的应用(1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝