搜索
数学第六章数列第3讲等比数列及其前n项和01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的比等于__________(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的_____，通常用字母_____表示．2同一常数公比q(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么_________叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔_________．“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．GG2＝ab2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝_________．(2)前n项和公式：Sn＝_________，q＝1，a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q，q≠1.a1qn－1na13．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N+)(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝_________＝_________．(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．ap·aqa2r常用结论1．正确理解等比数列的单调性当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递增数列；当q1，a10或0q1，a10时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列；当q＝－1时，{an}是摆动数列．2．记住等比数列的几个常用结论(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．(4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列．(5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝a11－q.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．二、教材衍化1．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48.答案：12，482．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝________．解析：由题意知q3＝a5a2＝18，所以q＝12.答案：123．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则{an}的通项公式an＝________．解析：因为S10S5＝3132，所以S10－S5S5＝－132，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－132，q＝－12，则an＝－1×－12n－1＝－－12n－1.答案：－－12n－1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．()(2)公比q是任意一个常数，它可以是任意实数．()(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()×××二、易错纠偏常见误区(1)忽视项的符号判断；(2)忽视公比q＝1的特殊情况；(3)忽视等比数列的项不为0.1．在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为________．解析：设a3与a7的等比中项为G，因为a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.答案：±82．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和Sn＝________．解析：因为a≠0，an＝an，所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时Sn＝a(1－an)1－a.答案：n，a＝1，a(1－an)1－a，a≠0，a≠13．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________．解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)，即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，不是等比数列，舍去．答案：－4等比数列基本量的运算(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2(2)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{an}的通项公式；②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.【解】(1)选C.设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.(2)①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.②若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－(－2)n3.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q1．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________．解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1(1－q5)1－q＝13×(1－35)1－3＝1213.优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1(1－q5)1－q＝13×(1－35)1－3＝1213.答案：12132．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得d＝3，q＝0(舍去)，d＝1，q＝2.因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.等比数列的判定与证明(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝ann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．【解】(1)由条件可得an＋1＝2(n＋1)nan.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得an＋1n＋1＝2ann，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得ann＝2n－1，所以an＝n·2n－1.等比数列的4种常用判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N+)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N+)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N+)，则数列{an}是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N+)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列[提醒](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．证明：因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N+)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理由．解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.下面证明{an＋3}为等比数列：因为Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3n－3，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，所以2(an＋3)＝an＋1＋3，所以an＋1＋3an＋3＝2，所以存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．所以an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N+)．等比数列的性质(多维探究)角度一等比数列项的性质(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an0，q1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝________．【解析】(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.(2)由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由a3＋a5＝20，a3a5＝64，且an0，q1，得a3＝4，a5＝16，所以a1q2＝4，a1q4＝16，解得a1＝1，q＝2.所以S5＝1×(1－25)1－2＝31.【答案】(1)50(2)31角度二等比数列前n项和的性质(1)(一题多解)等比数列{an}中，前n项和为48，前