2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 苏教版

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

第六章数列第三节等比数列及其前n项和2[最新考纲]1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.3课前自主回顾41.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的,通常用字母q表示,定义的数学表达式为an+1an=q(n∈N*,q为非零常数).公比2同一个常数5(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么___叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an==amqn-m.(2)前n项和公式:a1qn-1G2=abG6[常用结论]等比数列的常用性质1.在等比数列{an}中,若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a2k.2.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),1an,{a2n},{an·bn},anbn仍然是等比数列.3.等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn,其中当公比为-1时,n为偶数时除外.7一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(3)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.()8(4)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=a1-an1-a.()(5)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)×9二、教材改编1.在等比数列{an}中,a3=2,a7=8,则a5等于()A.5B.±5C.4D.±4C[∵a25=a3a7=2×8=16,∴a5=±4.又∵a5=a3q2>0,∴a5=4.]102.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.13B.-13C.19D.-19C[∵S3=a2+10a1,∴a1+a2+a3=a2+10a1,∴a3=9a1,即公比q2=9,又a5=a1q4,∴a1=a5q4=981=19.故选C.]113.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.6[∵a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.又∵Sn=126,∴21-2n1-2=126,解得n=6.]124.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机秒,该病毒占据内存8GB(1GB=210MB).1339[由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an},且a1=2,q=2,∴an=2n,则2n=8×210=213,∴n=13.即病毒共复制了13次.∴所需时间为13×3=39(秒).]14课堂考点探究15考点1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时,注意分q=1和q≠1两类分别讨论.161.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=()A.3B.4C.5D.6B[因为3S3=a4-2,3S2=a3-2,所以两式相减,得3(S3-S2)=(a4-2)-(a3-2),即3a3=a4-a3,得a4=4a3,所以q=a4a3=4.]172.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=13,a24=a6,则S5=.1213[设等比数列的公比为q,由已知a1=13,a24=a6,所以13q32=13q5,又q≠0,所以q=3,所以S5=a11-q51-q=131-351-3=1213.]183.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知a3=32,S3=92,则a2=.19-3或32[法一:(直接法)∵数列{an}是等比数列,∴当q=1时,a1=a2=a3=32,显然S3=3a3=92.当q≠1时,由题意可知a11-q31-q=92,a1q2=32,20解得q=-12或q=1(舍去).∴a2=a3q=32×(-2)=-3.综上可知a2=-3或32.21法二:(优解法)由a3=32得a1+a2=3.∴a3q2+a3q=3,即2q2-q-1=0,∴q=-12或q=1.∴a2=a3q=-3或32.]224.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.[解](1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1(n∈N+).23(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1--2n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.24抓住基本量a1,q,借用方程思想求解是解答此类问题的关键,求解中要注意方法的择优,如T3,方法二避免了讨论.25考点2等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法:若an+1an=q(q是不为零的常数),则数列{an}是等比数列;(2)等比中项法:若a2n+1=anan+2(n∈N+,an≠0),则数列{an}是等比数列;(3)通项公式法:若an=Aqn(A,q是不为零的常数),则数列{an}是等比数列.26设数列{an}中,a1=1,a2=53,an+2=53an+1-23an,令bn=an+1-an(n∈N*)(1)证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.272829[逆向问题]已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3的值;(2)是否存在常数λ,使得{an+λ}为等比数列?若存在,求出λ的值和通项公式an,若不存在,请说明理由.30[解](1)当n=1时,S1=a1=2a1-3,解得a1=3,当n=2时,S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9,当n=3时,S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21.(2)假设{an+λ}是等比数列,则(a2+λ)2=(a1+λ)(a3+λ),即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3.31下面证明{an+3}为等比数列:∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3n-3,∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1,∴2(an+3)=an+1+3,∴an+1+3an+3=2,∴存在λ=3,使得数列{an+3}是首项为a1+3=6,公比为2的等比数列.∴an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1)(n∈N*).32(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法,其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)已知等比数列求参数的值,常采用特殊到一般的方法求解,如本例的逆向问题.33(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.34[解](1)证明:由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.35(2)由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1.所以an=12[(an+bn)+(an-bn)]=12n+n-12,bn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12n-n+12.36考点3等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为3类(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.37(1)[一题多解]已知数列{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10等于()A.7B.5C.-5D.-7(2)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S4S2=3,则S6S4=()A.2B.73C.310D.1或238(3)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=.39(1)D(2)B(3)2[(1)法一:(基本量法)设数列{an}的公比为q,则由题意得a4+a7=a1q3+a1q6=2,a5a6=a1q4×a1q5=a21q9=-8,所以q3=-2,a1=1或q3=-12,a1=-8,所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.40法二:(性质法)由a4+a7=2,a5a6=a4a7=-8,解得a4=-2,a7=4或a4=4,a7=-2.所以q3=-2,a1=1或q3=-12,a1=-8,所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.41(2)设S2=k,S4=3k,∵数列{an}为等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k,∴S6=7k,∴S6S4=7k3k=73,故选B.42(3)由题意,得S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,解得S奇=-80,S偶=-160,所以q=S偶S奇=-160-80=2.]43在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,特别关注项an或和Sn的下角标数字间的内在关系,活用性质,减少运算量,提高解题速度.441.已知数列{an}是等比数列,若a2=1,a5=18,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N+)的最小值为()A.83B.1C.2D.345C[由已知得数列{an}的公比满足q3=a5a2=18,解得q=12,∴a1=2,a3=12,故数列{anan+1}是以2为首项,公比为a2a3a1a2=14的等比数列,462.等比数列{an}满足an>0,且a2a8=4,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=.9[由题意可得a2a8=a25=4,a5>0,所以a5=2,则原式=log2(a1a2…a9)=9log2a5=9.]Thankyouforwatching!

1 / 47
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功