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第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.两个实数比较大小的依据(1)作差法:①a-b0⇔a__b.②a-b=0⇔a__b.③a-b0⇔a__b.=必备知识·自主学习(2)作商法:对于a0,b0,①若1⇔ab.②若=1⇔a=b.③若1⇔ab.ababab必备知识·自主学习2.不等式的基本性质(1)对称性:ab⇔____.(2)传递性:ab,bc⇒____.(3)可加性:ab⇒a+cb+c.(4)可乘性:ab,c0⇒______;ab,c0⇒______.(5)加法法则:ab,cd⇒________.(6)乘法法则:ab0,cd0⇒______.(7)乘方法则:ab0⇒_____(n∈N,n≥1).(8)开方法则:ab0⇒_________(n∈N,n≥2).baacacbcacbca+cb+dacbdanbnnnab必备知识·自主学习3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象必备知识·自主学习判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根___________________________________________________没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集_______________________Rax2+bx+c0(a0)的解集___________∅__有两个相异实根x1,x2(x1x2)有两个相等实根x1=x2=-{x|xx1或xx2}{x|x≠x1}{x|x1xx2}∅b2a必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)ab⇔ac2bc2.()(2)若不等式ax2+bx+c0的解集为(x1,x2),则必有a0.()(3)不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立的条件是a0且Δ=b2-4ac≤0.()提示:(1)×.由不等式的性质,c≠0时,ac2bc2⇔ab;反之,c=0时,abac2bc2.(2)√.由一元二次不等式的解集可知,正确.(3)×.当a=0,b=0,c0时也成立.必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽视二次项的系数为正考点二、T12忽略根的大小考点二、T33忽视不等式与相应函数的关系考点三、角度2,3必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(必修5P75例1改编)不等式-3x2+5x2的解集为________.【解析】原不等式化为3x2-5x+20,3x2-5x+2=0的两根为,1,所以不等式3x2-5x+20的解集为答案:232{x|x1}.3＜＜2{x|x1}3＜＜必备知识·自主学习2.(必修5P80习题3.2T11改编)不等式的解集为________.【解析】原不等式化为(x-1)(x+3)0,所以-3x1,所以原不等式的解集为{x|-3x1}.答案:{x|-3x1}x10x3＜必备知识·自主学习3.(必修5P79习题3.2T2(2)改编)不等式x2+2x-30的解集为()A.{x|-3x1}B.{x|-1x3}C.{x|x-3或x1}D.{x|x-1或x3}【解析】选C.根据题意,方程x2+2x-3=0有两个根,即-3和1,则x2+2x-30的解集为{x|x-3或x1}.必备知识·自主学习4.(必修5P80习题3.2T6改编)设集合A={x|x2+x-6≤0},集合B为函数y=的定义域,则A∩B等于()A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]【解析】选D.A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},由x-10得x1,即B={x|x1},所以A∩B={x|1x≤2}.1x1必备知识·自主学习5.(必修5P80习题3.2T8(1)改编)已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数a的取值范围是()A.(4,+∞)B.(-∞,4)C.(-∞,2)D.(2,+∞)【解析】选A.设f(x)=x2-ax+3,若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则只需要f(1)0,即f(1)=1-a+30,得a4,即实数a的取值范围是(4,+∞).核心素养·微专题【思想方法】转化与化归思想在一元二次不等式中的应用【典例】(2019·金华模拟)关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为[a,b],则a-b=()A.-1B.-2C.-3D.-434核心素养·微专题【解析】选D.令f(x)=x2-3x+4,则f(x)=(x-2)2+1,所以f(x)min=f(2)=1,由题意可知a≤1,且f(a)=f(b)=b,ab,b2由f(b)=b得到b2-3b+4=b,解得b=(舍去)或b=4,由抛物线的对称轴为x=2得到a=0,所以a-b=-4.34344334核心素养·微专题【思想方法指导】三个“二次”关系的应用一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联系,解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题.核心素养·微专题【迁移应用】若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围为________.核心素养·微专题【解析】设函数f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,因为方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2),如图,所以则-4m-2,即实数m的取值范围是(-4,-2).答案:(-4,-2)f00f0m20m2f10f12m80m4m0f20f23m0，所以，即，核心素养测评