2021版高考数学一轮复习 第九章 统计与统计案例 9.3 变量间的相关关系与统计案例课件 苏教版

第九章统计与统计案例第三节变量间的相关关系与统计案例2[最新考纲]1.会做两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归系数公式不要求记忆).3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的思想、方法及其初步应用．3课前自主回顾41．两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从到的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关在散点图中，点散布在从到的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．右下角左下角右上角左上角5(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．一条直线62．回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的_____________________的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程：方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定参数．距离的平方和最小73．回归分析(1)定义：对具有的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中称为样本点的中心．相关关系(x－，y－)8(3)相关系数当r＞0时，表明两个变量；当r＜0时，表明两个变量．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间．通常|r|大于时，认为两个变量有很强的线性相关性．正相关负相关越强几乎不存在线性相关关系0.7594．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为频数表不同类别102×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝，其中n＝____________为样本容量．nad－bc2a＋ba＋cb＋dc＋da＋b＋c＋d11[常用结论]1．回归直线必过样本点的中心(x，y)．2．当两个变量的相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．12一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．()(2)通过回归直线方程可以估计预报变量的取值和变化趋势．()(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．()13(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√14二、教材改编1．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的是()A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25A[R2越接近于1，其拟合效果越好．]152．下面是2×2列联表：y1y2总计x1a2173x2222547总计b46120则表中a，b的值分别为()A．94,72B．52,50C．52,74D．74,52C[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]163．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.17根据表中数据，得到K2的观测值k＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为．5%[K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.]184．某同学家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量y(杯)与当天最高气温x(℃)的有关数据，通过描绘散点图，发现y和x呈线性相关关系，并求得其回归方程y^＝2x＋60.如果气象预报某天的最高气温为34℃，则可以预测该天这种饮料的销售量为杯．128[由题意x＝34时，该小卖部大约能卖出热饮的杯数y^＝2×34＋60＝128杯．]19课堂考点探究20考点1相关关系的判断判定两个变量正、负相关的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．(3)线性回归直线方程中：b^0时，正相关；b^0时，负相关．211.已知变量x和y近似满足关系式y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关22C[由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x与z负相关．]232．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r324A[由相关系数的定义以及散点图可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.]253．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－3B．0C．－1D．1C[在一组样本数据的散点图中，所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，所以b＝－30，即这组样本数据的两个变量负相关，且相关系数为－1.故选C.]264．x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为．27①x，y是负相关关系；②在该相关关系中，若用y＝c1ec2x拟合时的相关系数为r1，用y^＝b^x＋a^拟合时的相关指数为r2，则|r1|＞|r2|；③x，y之间不能建立线性回归方程．①②[在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1ec2x拟合比用y^＝b^x＋a^拟合效果要好，则|r1|＞|r2|，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误．]28相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具有相关性．29考点2回归分析线性回归分析求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；30(2)利用公式b^＝∑ni＝1xi－xyi－y∑ni＝1xi－x2＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x求得回归系数；(3)写出回归直线方程．31如图是某企业2012年至2018年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.32(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程，预测2021年该企业的污水净化量；(3)请用数据说明回归方程预报的效果．33参考数据：y＝54，∑7i＝1(ti－t)(yi－y)＝21，14≈3.74，∑7i＝1(yi－y^i)2＝94.参考公式：相关系数r＝∑ni＝1ti－tyi－y∑ni＝1ti－t2∑ni＝1yi－y2，线性回归方程y^＝a^＋b^t，34b^＝∑ni＝1ti－tyi－y∑ni＝1ti－t2，a^＝y－b^t.反映回归效果的公式为：R2＝1－∑ni＝1yi－y^i2∑ni＝1yi－y2，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好．35[解](1)由折线图中的数据得，t＝4，∑7i＝1(ti－t)2＝28，∑7i＝1(yi－y)2＝18，所以r＝2128×18≈0.935.因为y与t的相关系数近似为0.935，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系．36(2)因为y＝54，b^＝∑7i＝1ti－tyi－y∑7i＝1ti－t2＝2128＝34，所以a^＝y－b^t＝54－34×4＝51，所以y关于t的线性回归方程为y^＝b^t＋a^＝34t＋51.将2021年对应的t＝10代入得y^＝34×10＋51＝58.5，所以预测2021年该企业污水净化量约为58.5吨．37(3)因为R2＝1－∑7i＝1yi－y^i2∑7i＝1yi－y2＝1－94×118＝1－18＝78＝0.875，所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．38在线性回归分析中，只需利用公式求出回归直线方程并利用其进行预测即可(注意回归直线过样本点的中心(x，y))，利用回归方程进行预测，常把线性回归方程看作一次函数，求函数值．391.(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^.已知∑10i＝1xi＝225，∑10i＝1yi＝1600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A．160B．163C．166D．17040C[∵∑10i＝1xi＝225，∴x＝110∑10i＝1xi＝22.5.∵∑10i＝1yi＝1600，∴y＝110∑10i＝1yi＝160.又b^＝4，∴a^＝y－b^x＝160－4×22.5＝70.∴回归直线方程为y^＝4x＋70.将x＝24代入上式得y^＝4×24＋70＝166.故选C.]412．某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如表：广告费用x(万元)2345销售额y(万元)26m4954根据上表可得回归方程y^＝9x＋10.5，则m的值为()A．36B．37C．38D．3942D[由回归方程的性质，线性回归方程过样本点的中心，则26＋m＋49＋544＝2＋3＋4＋54×9＋10.5，解得m＝39.故选D.]43非线性回归方程非线性回归方程的求法(1)根据原始数据作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程．(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程．44某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．45表中wi＝xi，w]＝18∑8i＝1wi.46(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：47①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v^＝α^＋β^u的斜率和