2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系课件 文 新人教A版

数学第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行__________k1与k2都不存在垂直_____________k1与k2一个为零、另一个不存在k1＝k2k1k2＝－12.两条直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝____________________点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__________线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝__________（x2－x1）2＋（y2－y1）2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2常用结论1．会用两个充要条件(1)两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.(2)两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.2．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．六种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．二、习题改编1．(必修2P110B组T1改编)两直线4x＋3y＝10与2x－y＝10的交点坐标为__________．答案：(4，－2)2．(必修2P110B组T2改编)已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于__________.答案：2－13．(必修2P114A组T5改编)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是__________．解析：由直线l1与l2平行，可得a（a＋1）＝2×3，a×1≠2，解得a＝－3.答案：－3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()××√√√二、易错纠偏常见误区(1)求平行线间距离忽视x，y的系数相同；(2)判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况．解析：选D.直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72.1．两条平行直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋11＝0之间的距离为()A.235B.2310C．7D．722．已知直线l1：ax＋y－4＝0和l2：2x＋ay＋1＝0若l1⊥l2，则a＝__________．答案：0两条直线平行与垂直(师生共研)(一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)当l1∥l2时，求a的值；(2)当l1⊥l2时，求a的值．【解】(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由l1∥l2可得－a2＝11－a，－3≠－（a＋1），解得a＝－1.综上可知，a＝－1.法二：由l1∥l2知A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0，即a（a－1）－1×2＝0，a（a2－1）－1×6≠0⇒a2－a－2＝0，a（a2－1）≠6⇒a＝－1.(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；当a≠1时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由l1⊥l2，得－a2·11－a＝－1⇒a＝23.法二：因为l1⊥l2，所以A1A2＋B1B2＝0，即a＋2(a－1)＝0，得a＝23.(1)两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在．①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒]判断两条直线位置关系应注意：〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．〈2〉注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解．1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为()A．7B．9C．11D．－7解析：选A.由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0；(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线．解：(1)设直线方程为x－2y＋c＝0，把P(－1，3)代入直线方程得c＝7，所以直线方程为x－2y＋7＝0.(2)AB的中点为1＋32，2＋12，即2，32，直线AB的斜率kAB＝2－11－3＝－12，故线段AB垂直平分线的斜率k＝2，所以其方程为y－32＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.两条直线的交点与距离问题(多维探究)角度一两直线的交点与直线过定点(1)对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定点的坐标为()A．(9，－4)B．(－9，－4)C．(9，4)D．(－9，4)(2)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为__________．【解析】(1)(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，故此直线过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点．由x＋2y－1＝0，－x－y＋5＝0得定点的坐标为(9，－4)．故选A.(2)由方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得x＝0，y＝2，即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－43，所以直线l的方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.【答案】(1)A(2)4x＋3y－6＝0角度二三种距离问题(1)已知点P(－1，－1)，A(1，0)，B(0，1)，则△ABP的面积为__________．(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m＋n＝__________．【解析】(1)因为A(1，0)，B(0，1)，所以|AB|＝2，直线AB的方程为x＋y－1＝0，则点P(－1，－1)到直线AB的距离d＝32，所以△ABP的面积为12×2×32＝32.(2)因为l1，l2平行，所以1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2：x－2y－3＝0.又l1，l2之间的距离是5，所以|m＋3|1＋4＝5，得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2.【答案】(1)32(2)－2两种距离的求解思路(1)点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离的求法①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式)．1．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是__________．解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－32＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则|c＋6|＝|c＋32|，解得c＝－154，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.答案：12x＋8y－15＝02．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是__________．解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝－1－10－1＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝0对称问题(典例迁移)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．【解】(1)设A′(x，y)，由已知得y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.所以A′－3313，413.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1.解得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0.得N(4，3)．又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，求直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．解：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.1．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为__________．解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A′(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直线方程为3x＋4y＋5＝0.答案：3x＋4y＋5＝02．已知点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是__________．解析：由题意得线段AB的中点－12，2在直线y＝kx＋b上，故23·k＝－1，－12k＋b＝2，解得k＝－32，b＝54，所以直线方程为y＝－32x＋54.令y＝0，即－32x