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第七节抛物线内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.抛物线的定义(1)M为平面内的动点,F为平面内的定点,l为平面内的定直线,d为M到l的距离,满足下列两个条件的点M的轨迹为抛物线:①______;②_____.(2)当F∈l时,点M的轨迹为过__________________.2.抛物线中参数p的几何意义:_________________.|MF|=d点F且与l垂直的直线焦点到准线的距离F∉l必备知识·自主学习3.标准方程的形式:(1)焦点在x轴正半轴:___________;(2)焦点在x轴负半轴:____________;(3)焦点在y轴正半轴:___________;(4)焦点在y轴负半轴:____________.4.标准位置抛物线的对称性:对称轴为焦点所在坐标轴.y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是x=-.()(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()a(,0)4a4必备知识·自主学习(5)AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.()(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x2=-2ay(a0)的通径长为2a.()p(,0)22p4必备知识·自主学习提示:(1)×.当定点在定直线上时,轨迹为过定点与定直线垂直的一条直线,不是抛物线.(2)×.方程y=ax2(a≠0)可化为x2=y是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是,准线方程是y=-.(3)×.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)×.例如,直线y=1与抛物线y2=4x只有一个交点,但它们相交.(5)√.由焦半径的性质可知正确.(6)√.由通径定义及抛物线性质知正确.1a1(0,)4a14a必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1不会利用定义转化考点一、T1,22联想不到利用焦点弦的有关结论求解考点二、T33运算不过关导致出错考点三、角度1必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(选修2-1P52练习T6(1)改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于()A.9B.8C.7D.6【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,根据题意可得|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.必备知识·自主学习2.(选修2-1P53习题2.4T7改编)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P为抛物线上任意一点,则以PF为直径的圆C与y轴()A.相交B.相切C.相离D.以上都不对必备知识·自主学习【解析】选B.由抛物线方程得F,设P(x0,y0),则由抛物线定义可得|PF|=x0+.由已知点C为PF的中点，则C的坐标为,半径r=,故C点到y轴的距离d=,所以d=r,故圆C与y轴相切,故选B.p(,0)2p200pxy2(,)220px|PF|2220px22必备知识·自主学习3.(选修2-1P54习题2.4T12改编)顶点在坐标原点,焦点为F(0,1)的抛物线上有一动点A,圆(x+1)2+(y-4)2=1上有一动点M,则当|AM|+|AF|取得最小值时=()A.3B.C.2D.【解析】选B.由题知,抛物线方程为x2=4y,其准线为y=-1,设d=|AF|为A到准线的距离,则|AM|+|AF|的最小值等于圆心(-1,4)到准线的距离减去半径,此时A,则AMAF115112AM11511AMAF.44AF5，，所以1(1,)4－核心素养测评