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第八节函数与方程内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.函数的零点(1)函数零点与方程根的关系:必备知识·自主学习(2)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_____________,那么函数y=f(x)在区间______内有零点,即存在x0∈(a,b),使得_______.f(a)·f(b)0(a,b)f(x0)=0必备知识·自主学习2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点___________________无交点零点个数______(x1,0),(x2,0)(x1,0)210必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac0时没有零点.()(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)0.()(4)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)0,则f(x)在(a,b)内没有零点.()必备知识·自主学习提示:(1)×.函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)√.当b2-4ac0时,抛物线与x轴无交点,故没有零点.(3)×.函数图象若没有穿过x轴,则f(a)·f(b)0.(4)×.若在区间[a,b]内有多个零点,f(a)·f(b)0也可以.必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽略零点存在性定理考点一、T1,42忽略指数函数的底数考点一、T33忽略x的取值范围考点二、T24忽略周期性的作用考点二、T35忽略新元的范围考点三、角度2必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(必修1P94例1改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()【解析】选A.根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点.必备知识·自主学习2.(必修1P97习题3.4(1)T1改编)函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.和(3,4)D.(4,+∞)【解析】选B.因为f(2)=ln2-10,f(3)=ln3-0,且函数f(x)的图象连续不断,f(x)为增函数,所以f(x)的零点在区间(2,3)内.2x1(1)e，23必备知识·自主学习3.(必修1P95例2改编)函数f(x)=的零点个数为________.【解析】作函数的图象如图所示,1x21x()2－1x2121yxy()2＝和＝必备知识·自主学习由图象知函数f(x)有1个零点.答案:1核心素养·微专题【解题新思维】利用“三个二次”之间的关系解题【结论】二次函数零点分布情况设二次函数y=ax2+bx+c(a0)对应方程ax2+bx+c=0的根为x1,x2,其零点分布情况如下:核心素养·微专题核心素养·微专题核心素养·微专题【典例】若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是________.核心素养·微专题【解析】依题意,结合函数f(x)的图象(图略)分析可知,m需满足答案:m2f(1)f00f1f20，－，，m2(m2m2m1)(2m1)0(m2m2m1)4(m2)2m2m1011m.42，即－－＋＋＋，－＋＋＋［－＋＋＋］，解得1142（，）核心素养·微专题【迁移应用】一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A.a0B.a0C.a-1D.a1【解析】选C.依题意,充要条件为x1x2=0,所以a0,故选项C为充分不必要条件.1a核心素养测评