2021版高考数学一轮复习 第二章 函数及其应用 2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性课件 苏教版

第三节函数的奇偶性、对称性与周期性内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评必备知识·自主学习【教材·知识梳理】1.函数的奇偶性定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意x∈A,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数,如果对于任意的x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.必备知识·自主学习2.函数的周期性(1)一般地对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.必备知识·自主学习【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.()(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.()(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.()必备知识·自主学习提示:(1)×.奇函数只有在原点有定义时才过原点,而偶函数不管在原点有无定义,都不一定过原点.(2)√.因为函数具有奇偶性,所以定义域一定关于原点对称,而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性.(3)√.由周期函数的定义可知正确.(4)√.因为y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a)=f(a-x),可知x=a为对称轴.(5)√.由于y=f(x+b)的图象关于(0,0)对称,根据图象平移变换,知y=f(x)的图象关于(b,0)对称,正确.必备知识·自主学习【易错点索引】序号易错警示典题索引1奇偶函数的定义域关于原点对称考点一、T12忽略奇偶函数定义中任意一个自变量考点一、T43周期性与轴对称所对应解析式的差别考点二、T34分段函数奇偶性的解析式考点三、角度1必备知识·自主学习【教材·基础自测】1.(必修1P43练习T1改编)下列函数为偶函数的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不满足f(-x)=f(x).必备知识·自主学习2.(必修1P43练习T6改编)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x【解析】选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.必备知识·自主学习3.(必修1P31习题2.1(1)T9改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=________.【解析】f=f=-4×+2=1.答案:124x2,1x0,x,0x13()23()21()221()2必备知识·自主学习4.(必修1P45习题2.2T9改编)已知定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=log2x-3x,则f(-1)=______.【解析】因为f(1)=log21-3=-3,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=3.答案:3核心素养·微专题解题新思维活用奇函数最值性质,抽象函数的对称性解题【结论】1.奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.核心素养·微专题2.抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.(3)若方程y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b,则f(x)的图象关于(a,b)对称.ab2＋核心素养·微专题典例1.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=________.【解析】显然函数f(x)的定义域为R,f(x)==1+,设g(x)=,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,22(x1)sinxx1＋＋＋22(x1)sinxx1＋＋＋22xsinxx1＋＋22xsinxx1＋＋核心素养·微专题由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,所以M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案:2核心素养·微专题2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2020)+f(2021)+f(2022)的值为________.【解析】因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于(0,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),核心素养·微专题故f(x)的周期为4.所以f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=4,所以f(2020)+f(2022)=-f(2018)+f(2018+4)=-f(2018)+f(2018)=0,所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.答案:4核心素养·微专题【迁移应用】对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出结果一定不可能的是()A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2【解析】选D.因为f(x)=asinx+bx+c,所以f(1)+f(-1)=2c,又因为c∈Z,所以f(1)与f(-1)之和应为偶数.核心素养测评