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数学第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．函数的零点函数零点的概念对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有_______⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_______f(x)＝0实数根x轴零点f(a)·f(b)0函数零点的存在性定理函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若___________，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点[注意]函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点_____________(x1，0)无交点零点个数两个一个零个(x1，0)，(x2，0)常用结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编1．(必修1P92A组T5改编)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致范围是()A．(1，2)B．(2，3)C.1e，1和(3，4)D．(4，＋∞)答案：B2．(必修1P88例1改编)f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案：B3．(必修1P92A组T4改编)函数f(x)＝x12－12x的零点个数为_______．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()××√√二、易错纠偏常见误区(1)忽略限制条件致误；(2)错用零点存在性定理致误．1．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选B.由x－20，得x2，所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)，所以当f(x)＝0，即(x－1)ln(x－2)＝0时，解得x＝1(舍去)或x＝3.2．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是_______．解析：依题意可得f(－1)·f(1)0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)0，解得a－3或a1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断(师生共研)(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)【解析】法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－10，f(2)＝log320，f(3)＝20，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.【答案】B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0，1]B．[1，2]C．[－2，－1]D．[－1，0]解析：选D.因为f(x)＝3x－x2，所以f(－1)＝3－1－1＝－230，f(0)＝30－0＝10，所以f(－1)·f(0)0.函数零点个数的判断(师生共研)(一题多解)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】法一(方程法)：由f(x)＝0，得x≤0，x2＋x－2＝0或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．【答案】B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f(x)＝ln（x－1），x1，2x－1－1，x≤1，则f(x)的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C.当x1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C.函数零点的应用(师生共研)设函数f(x)＝2x－a，x1，4（x－a）（x－2a），x≥1.(1)若a＝1，则f(x)的最小值为_______；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_______．【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝2x－1，x1，4（x－1）（x－2），x≥1，作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足a1≤2a，21－a0，解得12≤a1.综上，实数a的取值范围为12，1∪[2，＋∞)．【答案】(1)－1(2)12，1∪[2，＋∞)利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤(1)常用方法(2)一般步骤1．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以f（1）0，f（2）0，即－a0，4－1－a0，解得0a3，故选C.2．已知函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_______．解析：画出函数f(x)＝2x－1，x0，－x2－2x，x≤0的图象，如图所示．由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0m1，即m∈(0，1)．答案：(0，1)3．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是_______．解析：因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝2x－122－14，因为x∈[－1，1]，所以2x∈12，2，所以2x－122－14∈－14，2.所以实数a的取值范围是－14，2.答案：－14，2核心素养系列5直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝121－x，则下列命题：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3，4)时，f(x)＝12x－3.其中正确命题的序号是_______．【解析】由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝121＋x，函数y＝f(x)的部分图象如图所示：由图象知②正确，③不正确；当3x4时，－1x－40，f(x)＝f(x－4)＝12x－3，因此④正确，故正确命题的序号为①②④.【答案】①②④作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log2(－x)x＋1成立的x的取值范围是_______．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)．【答案】(－1，0)f(x)，g(x)之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x－2a|≥12x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是_______．【解析】作出y＝|x－2a|和y＝12x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤12.【答案】－∞，12对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－1x的零点依次为a，b，c，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－1x的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知abc，故选A.【答案】A零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．1．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x0)，y2＝lnx(x0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f(x)＝x2，x≥0，－x2，x0，若f(a2)f(2－a)，则实数a的取值范围是_______．解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以a22－a，解得－2a1，故实数a的取值范围是(－2，1)．答案：(－2，1)本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放