2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 平行、垂直的综合问题课件 文 新人教A版

数学第八章立体几何第6讲平行、垂直的综合问题01核心考点深度剖析02高效演练分层突破空间中的证明与计算问题(师生共研)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解】(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD.设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝22x.故四棱锥P­ABCD的体积VP­ABCD＝13AB·AD·PE＝13x3.由题设得13x3＝83，故x＝2.从而PA＝PD＝2，AD＝BC＝22，PB＝PC＝22.可得四棱锥P­ABCD的侧面积为12PA·PD＋12PA·AB＋12PD·DC＋12BC2sin60°＝6＋23.(1)几何体的体积柱体的体积V＝S底·h.锥体的体积V＝13S底·h.(2)几何体的表面积直棱柱的侧面积S侧＝C底·l，其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积，最后求和．(3)计算几何体体积的关键及注意点计算几何体的体积时，关键是确定几何体的高，若是不方便求，要注意进行体积的转化．(2020·重庆市学业质量调研)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，∠CAD＝∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ADC＝30°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AC＝2.(1)求证：AE∥平面PBC；(2)若四面体PABC的体积为33，求△PCD的面积．解：(1)证明：如图，取CD的中点F，连接EF，AF，则EF∥PC，又易知∠BCD＝∠AFD＝120°，所以AF∥BC，又EF∩AF＝F，PC∩BC＝C，所以平面AEF∥平面PBC.又AE⊂平面AEF，所以AE∥平面PBC.(2)由已知得，V四面体PABC＝13·12AB·BC·PA＝33，可得PA＝2.过点A作AQ⊥CD于点Q，连接PQ，在△ACD中，AC＝2，∠CAD＝90°，∠ADC＝30°，所以CD＝4，AQ＝2×234＝3，则PQ＝22＋3＝7.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又AQ∩PA＝A，所以CD⊥平面PAQ，CD⊥PQ.所以S△PCD＝12×4×7＝27.空间中的翻折问题(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．【解】(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.解决此类问题的关键就是根据折痕，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”：(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.其步骤为：第一步—确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量↓第二步—在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面↓第三步—利用判定定理或性质定理进行证明(2020·济南市模拟考试)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P­EBCD，点M为棱PB的中点．(1)求证：PD∥平面MCE；(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M­BCE的体积．解：(1)证明：在题图1中，因为BE＝12AB＝CD且BE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形．如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，所以点O是BD的中点，又点M为棱PB的中点，所以OM∥PD，因为PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，所以PD∥平面MCE.(2)在题图1中，因为EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AD＝BC，所以AD＝DE，因为∠BAD＝45°，所以AD⊥DE.所以PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，所以PD⊥平面EBCD.由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，因为AE＝2，所以AD＝DE＝2，所以OM＝12PD＝12AD＝22，S△BCE＝S△ADE＝1，所以V三棱锥M­BCE＝13S△BCE·OM＝26.立体几何中的探索性问题(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD︵所在平面垂直，M是CD︵上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【解】(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD︵上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.解决探索性问题的方法(1)对命题条件探索的三种途径途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明．途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．途径三：将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．(2)对命题结论的探索方法从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．[注意]对探索性问题应先写出结论，再写出证明过程或理由．如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥P­ABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝12·AB·AC·sin60°＝32.由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P­ABC的高．又PA＝1，所以三棱锥P­ABC的体积V＝13·S△ABC·PA＝36.(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝12，从而NC＝AC－AN＝32.由MN∥PA，得PMMC＝ANNC＝13.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放