2021版高考数学一轮复习 第12章 复数、算法、推理与证明 第4节 直接证明与间接证明课件 文 新

第十二章复数、算法、推理与证明第四节直接证明与间接证明栏目导航123课堂·考点突破课时·跟踪检测课前·基础巩固[最新考纲][考情分析][核心素养]1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点.本节主要内容是直接证明的方法——综合法和分析法，间接证明的方法——反证法，它常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中主要以解答题的形式考查，难度中档.逻辑推理课前·基础巩固1‖知识梳理‖1．直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的1_________条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止充分内容综合法分析法实质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：假设原命题2_________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了3_______________的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．不成立原命题成立‖常用结论‖1．分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件．2．综合法和分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法．3．用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(2)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()解析：(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件．(2)应假设“a≤b”．(3)反证法只否定结论．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、走进教材2．(选修1－2P42练习T1改编)对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝()A．2sinθB．2cosθC．sin2θD．cos2θ解析：选D因为cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ.故选D.3．(选修1－2P42练习T2改编)若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．PQB．P＝QC．PQD．不能确定解析：选A假设PQ，只需证P2Q2，即2a＋13＋2（a＋6）（a＋7）2a＋13＋2（a＋8）（a＋5），只需证（a＋6）（a＋7）＞（a＋8）（a＋5），即只需证a2＋13a＋42a2＋13a＋40.因为4240成立，所以PQ成立．故选A.三、易错自纠4．设a，b，c都是正数，则a＋1b，b＋1c，c＋1a三个数()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析：选D因为a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，所以三个数中至少有一个不小于2.故选D.5．利用反证法证明“已知a0，b0，a＋b2，证明1＋ba，1＋ab中至少有一个小于2”时的假设是______________．解析：假设1＋ba，1＋ab都不小于2，则1＋ba≥2且1＋ab≥2.答案：1＋ba≥2且1＋ab≥26．若用分析法证明“设abc且a＋b＋c＝0，求证b2－ac3a”，则索的因是________(填序号)．①a－b0；②a－c0；③(a－b)(a－c)0；④(a－b)(a－c)0.解析：由abc且a＋b＋c＝0，可得b＝－a－c，a0，c0，要证b2－ac3a，只需证(－a－c)2－ac3a2，即证a2－ac＋a2－c20，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)0，即证(a－c)(a－b)0.答案：③课堂·考点突破2考点综合法的应用|题组突破|1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明：(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.2．(一题多解)在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．证明：证法一：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即12sin2B－12sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．证法二：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得b·a2＋c2－b22ac＝a·b2＋c2－a22bc，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．►名师点津———————————————————综合法的证题思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．考点一分析法【例1】已知函数f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有f（x1）＋f（x2）2≥fx1＋x22.[证明]要证明f（x1）＋f（x2）2≥fx1＋x22，即证明（3x1－2x1）＋（3x2－2x2）2≥3x1＋x22－2·x1＋x22，因此只要证明3x1＋3x22－(x1＋x2)≥3x1＋x22－(x1＋x2)，即证明3x1＋3x22≥3x1＋x22，因此只要证明3x1＋3x22≥3x1·3x2.由于x1，x2∈R时，3x10，3x20，由基本不等式知3x1＋3x22≥3x1·3x2，显然成立，故原结论成立．►名师点津———————————————————分析法的证题思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．[提醒]要注意书写格式的规范性．|跟踪训练|1．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.证明：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是证ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2.又△ABC的三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．考点二反证法【例2】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn.(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解](1)由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，所以d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明：由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，所以(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0.因为p，q，r∈N*，所以q2－pr＝0，2q－p－r＝0，所以p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，所以p＝r.与p≠r矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．►名师点津———————————————————1．适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．2．关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．|跟踪训练|2．设a0，b0，a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．证明：由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab(a0，b0)，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，得a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．谢谢观看THANKS