2020秋九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数 21.5 反比例函数 第2课时 反比例函数

21.5反比例函数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时反比例函数的图象和性质学习目标1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程(重点、难点)2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.(重点)3.能够初步应用反比例函数的图象和性质解题.(重点、难点)导入新课我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？复习引入反比例函数的图象和性质一讲授新课例1画反比例函数与的图象.合作探究6yx12yx提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线.需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0.解：列表如下：x…－6－5－4－3－2－1123456……………6yx12yx－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.21－2－2.4－3－4－66432.42O－2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．56xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－66yx连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得的图象．6yx12yx观察这两个函数图象，回答问题：思考：(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？(3)对于反比例函数(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？kyx●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随x的增大而减小.反比例函数(k＞0)的图象和性质：kyx1.反比例函数的图象大致是()CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo练一练3yx2.已知反比例函数的图象过点(－2，－3)，函数图象上有两点A(，y1)，B(5，y2)，则y1与y2的大小关系为()A.y1y2B.y1=y2C.y1y2D.无法确定Ckyx27提示：由题可知反比例函数的解析式为，因为6＞0，且A，B两点均在该函数图象的第一象限部分，根据5，可知y1，y2的大小关系.6yx27观察与思考当k=－2，－4，－6时，反比例函数的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？kyxkyxkyxyxOyxOyxO2yx4yx6yx反比例函数(k＜0)的图象和性质：kyx●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随x的增大而增大.归纳：(1)当k0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；(2)当k0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：kyxk的正负决定反比例函数所在的象限和增减性点(2，y1)和(3，y2)在函数上，则y1y2(填“”“”或“=”).练一练2yx例2已知反比例函数，y随x的增大而增大，求a的值.271aayax解：由题意得a2+a－7=－1，且a－10．解得a=－3.反比例函数的图象和性质的初步运用二练一练已知反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而减小，求m的值．21038mymx解：由题意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.例3已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？解：因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小.(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？122445解：设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.kyx62k因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.所以反比例函数的解析式为.12yx(1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？Oxy例4如图，是反比例函数图象的一支.根据图象，回答下列问题：5myx解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5.(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？解：因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2.(1)如果这个函数图象经过点（-3,5），求k的值；(2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小，求k的范围.例5已知反比例函数2k-1.yx解：(1)因为函数图象经过点（-3，5），代入函数的表达式，得解方程，得k=-7.2k15=3(2)根据题意，有2k-10.解不等式，得12k反比例函数解析式中k的几何意义三1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：4yx合作探究51234－15xyOPS1S2P(2，2)Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系4yx44S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1QS1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k的关系P(－1，4)Q(－2，2)2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：4yx4yx44S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1S2由前面的探究过程，可以猜想：若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.xkyyxOPS我们就k0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b)AB∵点P(a，b)在函数的图象上，kyx∴，即ab=k.kba∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P在第二象限，则a0，b0，若点P在第四象限，则a0，b0，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.BPA综上，S矩形AOBP=|k|.点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=.推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.Q对于反比例函数，xkyAB2k|k|yxO归纳：反比例函数的面积不变性A.SASBSCB.SASBSCC.SA=SB=SCD.SASCSB1.如图，在函数(x＞0)的图像上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则()yxOABCC练一练xy12.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6，则k=.=kyx－12提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意k＜0.yxOPA=kyx3.若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是.或3yx3yx例5如图，P，C是函数(x0)图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线PA，垂足为A，过点C作x轴的垂线CD，垂足为D，连接OC交PA于点E.设△POA的面积为S1，则S1=；梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是S2S3.典例精析4yx2S1S2＞＝S3如图所示，直线与双曲线交于A，B两点，P是AB上的点，△AOC的面积S1、△BOD的面积S2、△POE的面积S3的大小关系为.S1=S2S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知S1=S2.PE与双曲线的一支交于点F，连接OF，易知，S△OFE=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小关系为S1=S2S3FS1S2S3当堂练习1.反比例函数的图象在()8yxA.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限B2.在同一直角坐标系中，函数y=2x与的图象大致是()1yxOxyOxyOxyOxyA.B.C.D.B3.已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________.4.下列关于反比例函数的图象的三个结论：(1)经过点(－1，12)和点(10，－1.2)；(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小；(3)双曲线位于二、四象限.其中正确的是(填序号).(1)(3)2myxm＞212yx5.在反比例函数(k0)的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x20，则y1－y20.kyx＜yDBACx6.如图，点A是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S平行四边形ABCD=___.2yx3yx3257.已知反比例函数y=mxm²－5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求m的值.解：因为反比例函数y=mxm²－5的两个分支分别在第一、第三象限，所以有m2－5=－1，m＞0，解得m=2.8.已知反比例函数的图象经过点A(2，－4).(1)求k的值；kyx解：∵反比例函数的图象经过点A(2，－4)，∴把点A的坐标代入表达式，得，kyx42k解得k=－8.(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化?解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.(3)画出该函数的图象；Oxy解：如图所示：(4)点B(1，－8)，C(－3，5)是否在该函数的图象上？因为点B的坐标满足该解析式，而点C的坐标不满足该解析式，所以点B在该函数的图象上，点C不在该函数的图象上.解：该反比例函数的解析式为.8yx能力提升：8.点(a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数(k＞0)的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围.kyx解：由题意知，在图象的每一支上，y随x的增大而减小.①当这两点在图象的同一支上时，∵y1＜y2，∴a－1＞a+1，无解；②当这两点分别位于图象的两支上时，∵y1＜y2，∴必有y1＜0＜y2.∴a－1＜0，a+1＞0，解得：－1＜a＜1.故a的取值范围为：－1＜a＜1．反比例函数(k≠0)kk0k0图象性质图象位于第一、三象限图象位于第二、四象限在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大课堂小结kyx