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3.向心加速度【思考】小球绕绳子一端做匀速圆周运动,它的加速度方向如何?如何计算其大小?它的速度大小改变吗?提示:加速度方向指向圆心,可由an=或an=ω2r计算其大小,速度大小不变。2vr1.涵义:做匀速圆周运动的加速度总指向_____。2.方向:始终沿半径指向_____,并与线速度方向_____。3.大小:an=____或an=____。4.作用效果:只改变_____________,不改变线速度大小。圆心圆心垂直2vrω2r线速度的方向5.物理意义:描述___________改变快慢的物理量。6.下列表述中正确的是_____。①匀速圆周运动是匀变速曲线运动②做匀速圆周运动的物体,其向心加速度恒定③物体做匀速圆周运动时,其相等时间内的位移相等④物体做匀速圆周运动时,相等时间内的速度的变化量不同线速度方向④⑥⑤根据an=可知加速度与半径成反比⑥根据an=ω2r可知当角速度一定时,加速度与半径成正比2vr一匀速圆周运动的加速度方向1.物理意义:描述匀速圆周运动中线速度改变的快慢,只能表示速度方向变化的快慢,不表示速度大小变化的快慢。2.方向特点:(1)指向圆心:无论是匀速圆周运动,还是变速圆周运动,向心加速度的方向都指向圆心(或者说与线速度方向垂直)。(2)时刻改变:无论向心加速度的大小是否变化,向心加速度的方向随线速度方向的改变时刻改变,所以圆周运动的向心加速度是时刻改变的。3.匀速圆周运动中的“变”与“不变”:(1)“不变”量:匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变,线速度、加速度这两个矢量的大小不变。(2)“变化”量:匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变,故它们在时刻变化。【思考·讨论】情境:地球绕太阳做匀速圆周运动,如甲图所示;光滑桌面上一个小球由于细线的牵引,绕桌面上的图钉做匀速圆周运动,如乙图所示。讨论:(1)在匀速圆周运动中,地球、小球的运动状态发生变化吗?若变化,试分析原因。(物理观念)提示:运动状态发生变化,因为地球和小球都受到力的作用。(2)根据牛顿第二定律,试分析地球、小球的加速度方向变化吗?匀速圆周运动是一种什么运动?(科学思维)提示:地球、小球的合力指向圆心,方向时刻在变,因此,加速度方向也在时刻发生变化;匀速圆周运动是一种变速运动。【典例示范】下列关于向心加速度的说法中正确的是()A.向心加速度的方向始终指向圆心B.向心加速度的方向保持不变C.在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的D.在匀速圆周运动中,向心加速度的大小不断变化【解析】选A。向心加速度的方向始终指向圆心,和线速度的方向垂直,不改变线速度的大小只是改变线速度的方向,由于加速度是矢量,因此向心加速度是时刻变化的,向心加速度大小不变,故B、C、D项错误,A项正确。【素养训练】1.关于向心加速度,下列说法正确的是()A.向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量B.向心加速度是描述线速度的方向变化快慢的物理量C.向心加速度时刻指向圆心,方向不变D.向心加速度是平均加速度,大小可用a=计算0vvt【解析】选B。加速度是描述速度变化快慢的物理量,向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,因此A错误,B正确;虽然向心加速度时刻指向圆心,但是沿不同的半径指向圆心,所以方向不断变化,C错误;加速度公式a=适用于平均加速度的计算,向心加速度一般是指瞬时加速度,D错误。0vvt2.我们习惯这样的自然现象“太阳下山明早依旧爬上来”。黎明,旭日东升;黄昏,夕阳西下。白天和黑夜周而复始,不断交替出现,我们习以为常的这种自然现象就是地球自转产生的。关于地球上的物体随地球自转,下列说法正确的是()A.在赤道上向心加速度最大B.在两极向心加速度最大C.在地球上各处向心加速度一样大D.在地球上各处线速度都一样大【解析】选A。地球自转时,各点绕地轴转动,具有相同的角速度,根据a=rω2知,距地轴的距离越大,向心加速度越大,所以在赤道处的向心加速度最大,两极向心加速度最小,故A正确,B、C错误;根据公式v=ωr可得,在地球上各处线速度跟圆周运动半径大小有关,故D错误。【补偿训练】物体做匀速圆周运动过程中,其向心加速度()A.大小和方向均保持不变B.大小和方向均时刻改变C.大小保持不变、方向时刻改变D.大小时刻改变,方向保持不变【解析】选C。做匀速圆周运动的物体加速度是矢量,方向时刻指向圆心,是变化的,向心加速度的大小不变,故C项正确。二匀速圆周运动的加速度大小1.向心加速度的大小:已知向心力表达式:Fn=,Fn=mrω2根据牛顿第二定律Fn=man得到(1)an==ω2r=ωv:由于v=ωr,所以向心加速度也可以是an=ωv。2vmr2vr(2)an==4π2f2r:由于ω==2πf,所以向心加速度也可以是an==4π2f2r。224rT2T224rT2.公式的推导:(1)物理量:设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在某时刻t位于A点的速度为vA,经过很短的时间Δt后运动到B点,速度为vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一点,求出速度矢量的改变量Δv=vB-vA,如图甲、乙所示。(2)推导过程:图乙中的矢量三角形与图甲中的△OAB是相似三角形,用v表示vA和vB的大小,用Δl表示弦AB的长度,则有:,故Δv=v。所以加速度an=。而当Δt趋近于零时,表示线速度的大小v,于是得到an=。再由v=rω得an=ω2r。vvrlrlvvttrltl2vr【思考·讨论】情境:如图所示,自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不同,A、B、C是它们边缘上的三个点。讨论:A和B、B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系?(物理观念)提示:A和B两个点的向心加速度与半径成反比;B和C两点的向心加速度与半径成正比。【典例示范】如图所示,一个大轮通过皮带拉着小轮转动,皮带和两轮之间无相对滑动,大轮的半径是小轮半径的2倍,大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12m/s2时,大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少?世纪金榜导学号13【解析】同一轮子上的S点和P点的角速度相同,即ωS=ωP。由向心加速度公式an=ω2r,得,故aS=×12m/s2=4m/s2;SSPParar＝SPPr1ar3＝又因为皮带不打滑,所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等,即vP=vQ,由向心加速度公式an=,得,故aQ==2×12m/s2=24m/s2。答案:4m/s224m/s22vrQPQPraar＝PPQrar【规律方法】向心加速度公式的应用技巧(1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同。(2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比,在角速度相同时,向心加速度与半径成正比。(3)向心加速度公式an=和an=ω2r不仅适用于匀速圆周运动,也适用于变速圆周运动。2vr【素养训练】1.(多选)如图所示是甲、乙两球做圆周运动的向心加速度随半径变化的关系图像,下列说法中正确的是()A.甲球线速度大小保持不变B.乙球线速度大小保持不变C.甲球角速度大小保持不变D.乙球角速度大小保持不变【解析】选A、D。从图像知,对甲:a与R成反比,由a=知,当v一定时,a∝,故甲球线速度大小不变。对乙:a与R成正比,由a=ω2R知,当ω一定时,a∝R,故乙球角速度一定。选项A、D正确。2vR1R2.如图所示,两轮用皮带传动,假设皮带不打滑,图中A、B、C三点所在处半径rArB=rC,则这三点的向心加速度aA、aB、aC的大小关系正确的是()A.aA=aBB.aCaAC.aAaBD.aC=aB【解析】选C。A、B两点线速度相等,根据a=,rArB,则aAaB,故A错误,C正确;A、C两点角速度大小相等,根据a=rω2,由题意知:rArC,可得:aAaC,联立以上可知:aBaC,故B、D错误。2vr3.家用台式计算机上的硬磁盘的磁道如图所示,O点为磁道的圆心,A、B两点位于不同的磁道上,盘绕O点匀速转动时,A、B两点的向心加速度()A.大小相等,方向相同B.大小相等,方向不同C.大小不等,方向相同D.大小不等,方向不同【解析】选D。同轴转动角速度相同,根据向心加速度公式an=ω2r,两点转动半径不同,故向心加速度大小不同,方向指向圆心,故方向也不同,故D正确。【补偿训练】1.处于北纬45°的物体与赤道上的物体随地球自转的向心加速度之比为()A.1∶1B.1∶C.∶1D.1∶222【解析】选B。处于北纬45°的物体与赤道上的物体随地球自转的角速度相等,根据圆周运动的向心加速度公式a=rω2,由于二者的半径之比为1∶,则向心加速度之比为1∶,故B正确。222.如图所示,半径为R的圆环竖直放置,一轻弹簧一端固定在环的最高点A,一端系一带有小孔穿在环上的小球,弹簧原长为R。将小球从静止释放,释放时弹簧恰无形变,小球运动到环的最低点时速率为v,这时小球向心加速度的大小为()232222vv3v3vA.B.C.D.R2R2R4R【解析】选A。小球沿圆环运动,其运动轨迹就是圆环所在的圆,轨迹的圆心就是圆环的圆心,运动轨迹的半径就是圆环的半径,小球运动到环的最低点时,其向心加速度的大小为,加速度方向竖直向上,选项A正确。2vR【拓展例题】考查内容:生活中的圆周运动【典例示范】如图甲所示,修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的,其原理可简化为图乙所示。则齿轮边缘上A、B两点具有相同的()A.线速度的大小B.周期C.向心加速度的大小D.角速度【正确解答】选A。修正带的传动属于齿轮传动,A与B的线速度大小相等;二者的半径不同,由v=ωr可知A与B的角速度不相等,故A项正确,D项错误;二者角速度不相等,根据T=可知,二者的周期不相等,故B项错误;由向心加速度公式an=,A的半径大于B的半径可知,A的向心加速度小于B的向心加速度,故C项错误。22vr【课堂回眸】