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2.向心力第1课时向心力一、向心力【思考】光滑桌面上细线拴小球做匀速圆周运动,所受合力沿什么方向?提示:所受合力沿细线方向,指向圆心。1.实例表明:做匀速圆周运动的物体受到了指向_____的合力。2.方向:始终沿半径指向_____。圆心圆心3.表达式:(1)Fn=_____(2)Fn=_____。4.效果力:向心力是根据力的_________来命名的,凡是产生向心加速度的力,都是向心力。mω2r作用效果2vmr二、变速圆周运动和一般曲线运动1.变速圆周运动的合力(1)跟圆周相切的分力Ft产生切向加速度at,切向加速度描述___________变化的快慢。(2)指向圆心的分力Fn产生向心加速度an,向心加速度描述_______________的快慢。线速度大小线速度方向改变2.一般曲线运动:(1)处理方法:_______。可以将一般的曲线分割成许多很短的小段,看作一小段圆弧。(2)用圆周运动的处理方法研究质点在这一小段圆弧上的运动。微元法(3)下列描述中,你认为符合科学事实的有_____。①匀速圆周运动的向心力是恒力②匀速圆周运动的合力就是向心力③变速圆周运动的向心力不指向圆心④向心力是具有某种特定性质的力⑤向心力可以由重力或弹力来充当②⑤一向心力1.匀速圆周运动中向心力的方向:方向时刻在变化,始终指向圆心,与线速度的方向垂直。2.向心力的特点:由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直,故向心力不改变线速度的大小,只改变线速度的方向。3.向心力的来源:匀速圆周运动中,向心力等于物体的合外力,常等效为三种情况:合力充当向心力,某一个力充当向心力,某个力的分力充当向心力。【思考·讨论】情境:飞机在空中水平面内做匀速圆周运动;在光滑漏斗内壁上,小球做匀速圆周运动。讨论:(1)飞机和小球在运动过程中受到哪些力的作用?(模型建构)提示:重力和支持力。(2)这些力的合力方向及作用效果是什么?(物理观念)提示:这些力的合力指向圆心,充当向心力,用来提供向心力。【典例示范】如图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施,它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上,绳子的下端连接座椅,人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点,则可简化为如图乙所示的物理模型,其中P为处于水平面内的转盘,可绕竖直转轴OO′转动,设绳长l=10m,质点的质量m=60kg,转盘静止时质点与转轴之间的距离d=4.0m,转盘逐渐加速转动,经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动,此时绳与竖直方向的夹角θ=37°,不计空气阻力及绳重,且绳不可伸长,sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s2,求质点与转盘一起做匀速圆周运动时:(1)绳子拉力的大小。(2)转盘角速度的大小。【解题探究】(1)质点在水平面内做匀速圆周运动,在竖直方向上所受合力情况怎样?提示:在竖直方向上合力为零。(2)怎样确定质点做圆周运动的半径?提示:质点到竖直轴OO′间的距离为质点做圆周运动的半径。【解析】(1)如图所示,对质点进行受力分析,图中F为绳子的拉力,在竖直方向:Fcos37°-mg=0解得F==750N。mgcos37(2)质点在水平面内做匀速圆周运动,重力和绳子拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律有mgtan37°=mω2RR=d+lsin37°联立解得答案:(1)750N(2)rad/sgtan373rad/sdsin372。l32【规律方法】分析匀速圆周运动问题的基本步骤(1)明确研究对象,对研究对象进行受力分析,画出受力示意图。(2)确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。(3)将物体所受外力通过力的正交分解,分解到沿切线方向和沿半径方向。(4)列方程:沿半径方向满足F合1=mrω2=沿切线方向F合2=0。(5)解方程求出结果。222v4mrmrT，【素养训练】1.一个圆盘在水平面内匀速转动,盘面上有一个小物体随圆盘一起运动。对小物体进行受力分析,下列说法正确的是()A.只受重力和支持力B.只受重力、支持力、摩擦力C.只受重力、支持力、向心力D.只受重力、支持力、摩擦力、向心力【解析】选B。小物体做匀速圆周运动,合力指向圆心,对小物体受力分析,受重力、支持力和静摩擦力,如图所示;重力和支持力平衡,静摩擦力提供向心力,故B正确。2.如图所示,沿半径为R的半球型碗的光滑内表面,质量为m的小球正在虚线所示的水平面内做匀速圆周运动,小球离碗底的高度h=,试求(结果可用根号表示):R2(1)此时小球对碗壁的压力大小。(2)小球做匀速圆周运动的线速度大小。(3)小球做匀速圆周运动的周期大小。【解析】(1)由几何关系可知,支持力与水平方向的夹角为:θ=30°对小球受力分析可知:FNsin30°=mg,解得:FN=2mg。(2)根据牛顿第二定律可知:FNcos30°=解得:v=。2vmRcos30，3gR2(3)根据T=可得:T=答案:(1)2mg(2)(3)π2Rcos30v2Rg。2Rg3gR2【补偿训练】1.一只小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶,如图为雪橇受到的牵引力F及摩擦力F1的示意图(O为圆心),其中正确的是()【解析】选C。雪橇做匀速圆周运动,合力指向圆心,提供向心力;滑动摩擦力F1的方向和相对运动方向相反,故F1向后且与圆轨道相切;由于拉力与摩擦力的合力指向圆心,故拉力的分力与F1相反,只有C项符合。2.如图所示,在固定光滑水平板上有一光滑小孔O,一根轻绳穿过小孔,一端连接质量m=1kg的小球A,另一端连接质量M=4kg的物体B。当A球沿半径r=0.1m的圆周做匀速圆周运动时,要使物体B不离开地面,A球做圆周运动的角速度有何限制?(g取10m/s2)【解析】小球A做圆周运动的向心力为绳子的拉力,故FT=mω2rB恰好不离开地面时FT=Mg解上述两个方程得ω=20rad/s,B不离开地面时拉力FT不大于B的重力,故A球做圆周运动的角速度应小于等于20rad/s。答案:A球做圆周运动的角速度应小于等于20rad/s二变速圆周运动与一般曲线运动1.变速圆周运动合力的作用效果:(1)跟圆周相切的分力Ft:产生切向加速度,此加速度改变线速度的大小。(2)指向圆心的分力Fn:产生向心加速度,此加速度改变线速度的方向。2.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较:匀速圆周运动变速圆周运动线速度特点线速度的方向不断改变、大小不变线速度的大小、方向都不断改变受力特点合力方向一定指向圆心,充当向心力合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力,指向圆心的分力充当向心力匀速圆周运动变速圆周运动周期性有不一定有性质均是非匀变速曲线运动公式Fn=m=mω2r,an==ω2r都适用2vr2vr3.一般曲线运动:(1)运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。(2)处理方法:一般的曲线运动中,可以把曲线分割成许多很短的小段,质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。【思考·讨论】一列高铁列车匀速驶入如图所示的曲线弯道时,怎样研究它的运动规律?(科学思维)提示:高铁列车匀速驶入曲线弯道某一路段时,可以看作圆周运动的一部分。【典例示范】如图所示,物块P置于水平转盘上随转盘一起运动,且与转盘相对静止,图中c沿半径指向圆心,a与c垂直,下列说法正确的是()A.当转盘匀速转动时,P受摩擦力方向为b方向B.当转盘加速转动时,P受摩擦力方向可能为c方向C.当转盘加速转动时,P受摩擦力方向可能为a方向D.当转盘减速转动时,P受摩擦力方向可能为d方向【解析】选D。物块随转盘转动时,其向心力由静摩擦力提供,当它匀速转动时其方向指向圆心,当它加速转动时其方向斜向前方,当它减速转动时,其方向斜向后方。故选项D正确。【素养训练】1.(多选)如图所示,一小球用细绳悬挂于O点,将其拉离竖直位置一个角度后释放,则小球以O点为圆心做圆周运动,运动中小球所需的向心力是()A.绳的拉力B.重力和绳拉力的合力C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力【解析】选C、D。如图所示:对小球进行受力分析,它受重力和绳子拉力的作用,向心力是指向圆心方向的合力。因此,可以说向心力是小球所受合力沿绳方向的分力,也可以说是各力沿绳方向的分力的合力,选项C、D正确。2.荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动,如图所示,某同学正在荡秋千,A和B分别为运动过程中的最低点和最高点,若忽略空气阻力,则下列说法正确的是()A.在A位置时,该同学处于失重状态B.在B位置时,该同学受到的合力为零C.在A位置时,该同学对秋千踏板的压力大于秋千踏板对该同学的支持力,处于超重状态D.由A到B过程中,该同学的向心力逐渐减小【解析】选D。在A位置时,该同学的加速度向上,处于超重状态,故A项错误;在B位置时,该同学的速度为零,向心力为零,即沿绳子方向的合力为零,其合力等于重力沿圆弧切向分力,不为零,故B项错误;根据牛顿第三定律知,在A位置时,该同学对秋千踏板的压力等于秋千踏板对该同学的支持力,故C项错误;由A到B过程中,该同学的速度逐渐减小,由F=m分析知,向心力逐渐减小,故D项正确。2vr【补偿训练】1.一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示,曲线上A点的曲率圆定义为:通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫作A点的曲率圆,其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出,如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是()22200222200vvsinA.B.ggvcosvcosC.D.ggsin【解析】选C。物体做斜上抛运动,最高点速度即为斜上抛的水平速度vP=v0cosα,最高点重力提供向心力mg=m,由两式得ρ=2Pv2220Pvcosvgg。2.如图所示,工厂里的吊车正吊着一个铸件沿水平方向匀速运动,因为某种原因,突然紧急刹车,此瞬间铸件所受的合外力()A.方向竖直向上B.方向向前C.为零D.方向竖直向下【解析】选A。由题意知,当车突然刹车停止运动时,铸件开始做圆周运动,其所受合力指向圆心提供向心力,有T-mg=m,即合力竖直向上,故A正确。2vL三匀速圆周运动临界问题1.常见类型:(1)绳的拉力达到最大或为零。(2)物体开始滑动时静摩擦力达到最大。(3)物体脱离接触面时压力为零。2.解题关键:(1)在圆周运动问题中,当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时,说明运动过程中存在临界点。(2)分析临界状态的受力,列出临界条件下的牛顿第二定律方程。【典例示范1】(多选)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是()A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.ω=是b开始滑动的临界角速度D.当ω=时,a所受摩擦力的大小为kmgkg2l2kg3l【解析】选A、C。设木块滑动的临界角速度为ω,kmg=mω2r,所以ω=,ra=l,rb=2l,所以ωaωb,A、C项正确;摩擦力充当向心力,在角速度相等时,b受的摩擦力大,B项错误;ω=时,a受的摩擦力fa=mω2r=D项错误。kgr2kg3l2kg2mkmg33，ll【误区警示】解决相对滑动临界问题的注意事项(1)先确定研究对象受力情况,看哪些力充当向心力,哪些力可能突变引起临界问题。(2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化。(3)关注临界状态,即静摩擦力达到最大值时。例题中,随圆盘转动、静摩擦力提供向心力,随转速的增大,静摩擦力增大,当达到最大静摩擦力时开始滑动,出现临界情况,此时对应的角速度为临界角速度。【典例示范2】如图所示,在光滑的圆锥顶用长为l的细线悬挂一质量为m的物体,圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,细线与