多期货交叉套期保值策略研究

多期货交叉套期保值策略研究朱时麟1，王东2（1.北京大学物理学院；2.北京大学光华管理学院，北京100871）StudyontheCrossHedgingwithFuturesContractsZhuShilin1，WangDong2(1.SchoolofPhysics;2.GuanghuaSchoolofManagement;PekingUniversity,Beijing100871)AbstractCrosshedgingisofgreatimportanttofinancialriskmanagement.Inthispaper,aleastsecondmomentmethodforcrosshedgeusingmulti-futurescontractswasproposed.Andtheefficiencyofcrosshedgingwithmulti-futureswasanalyzed.KeywordsFutures,Crosshedging,FinancialEngineering摘要：运用期货套期保值技术来规避风险，对市场参与者有重要意义。本文提出了多期货交叉套期保值的最小二阶矩方法，分析了运用多种期货工具进行交叉套期保值技术，并实证研究了多期货交叉套期保值的有效性。关键词：期货交叉套期保值金融工程1.引言期货作为重要的金融衍生工具，在风险管理中具有重要的作用。在金融实践中，为了降低或消除现货的风险，交易者经常利用期货合约来进行对冲或套期保值。如果利用方差作为衡量风险的尺度，那么通过适当地设计期货合约的种类与数量，可以使现货-期货组成的资产组合风险最小化，这就是利用期货进行套期保值的基本原理。自80年代以来出现了很多关于期货套期保值的工作，LelandL.Johnson在1960年系统的讨论了期货市场套期保值者与投机者的操作策略[1]；1988年StephenG.Cecchitti等人对最佳套期保值系数的估计法做了讨论，指出传统的套期保值法只对风险作了考虑，没有考虑最大化效用的问题，因此综合了效用的因素后重新论述了套期保值的策略问题[2]；文[3]，[4]也综合考虑了最大化效用的问题。此外，针对不同市场的数据进行关于对冲的实证分析也是一个研究方向[5]-[9]。在国内，最近也出现了有关套期保值方面的工作[10]—[14]。在这些研究中，出现了有关组合套期保值的理论，就是用多种期货对单一品种现货进行对冲。一般而言，代数推导或统计回归是这种问题的两种常用方法。在本文中，我们首先简要回顾一下期货套期保值的基本方法，然后采用不同的方法推导和讨论一种套期保值的新方法。我们的讨论不是在由市场上交易的期货合约组成的线性空间中展开，而是试图做一个类似于“坐标变换”的线性变换，在变换后套期保值比率和效率将有比较简单的表达形式。最后，我们将对中国市场上交易的农产品期货进行实证研究。2.多期货交叉套期保值2.1单一期货套期保值方法为了讨论的便利，我们假设已经签订了一份现货合约，价值为S，到期日价值变化为S。现在为了减少这一头寸暴露的风险，我们再签订一份期货合约。假设签订的期货合约数量与现货合约的数量之比为h，期货合约的单位价值为F，在到期日价值变化为F。那么，在现货合约的到期日，我们手中的资产组合价值总变动为PhFS(1)其方差为222()2FFSSVarPhh(2)式中F和S分别代表期货合约与现货合约价格变动的标准差。要使对冲后的风险极小化，就要使(2)的值最小。不难看出，通过简单的配方法就可以解出这一最小值。当SFh时，（2）的值达到最小。最小值为2(1)S。SFh为最佳对冲比率，而2(1)S表示经过对冲之后的剩余风险。从这一表达式中可以看出，当期货与现货合约之间的相关系数越大时，所剩余的风险就越小。如果期货合约与现货合约的相关系数为1,那么在经过对冲之后所有的风险都被消除。因此，期货合约与现货合约之间的相关系数是衡量套期保值策略效果的指标。2.2多期货套期保值方法在讨论了单一期货的套期保值方法之后，下面我们将对上述套期保值的方法进行扩展，即研究利用多种期货合约对一种现货合约进行对冲的方法。此时，我们仍旧假设签订一份现货合约，价值为S，到期日价格变化为S。现在我们利用n种期货合约进行套期保值，每种期货合约与现货合约的数量之比为12,,nhhh…，期货合约的单位价值为12,,nFFF…，到期日价值变动为12,,nFFF…。类似地，我们手中的资产组合在到期日的价格变动为1niiiPhFS（3）其方差为22211()2nniiiiiSijijijSiiijVarPhhhh（4）其中ij为第i种与第j种期货合约价值之间的相关系数，i为第i种期货合约与现货合约之间的相关系数，而i代表第i种期货合约的标准差，S为现货合约价格变化的标准差。{[()][()]}iijjijijEFEFFEF（5）{[()][()]}iiiiSEFEFSES（6）将上式写成矩阵形式，有2()2TTSSVarPHCHHb（7）这里H为一列阵，iiiHh，而b代表每种期货合约与现货合约之间的相关关系，即12nb而C为n种期货合约价格之间的协方差矩阵1111nnnnC由协方差矩阵的定义知矩阵C为非负定对称矩阵，因此存在正交矩阵T，使'TCT为对角矩阵，即1'00nTCT（8）其中0i(1,2,)in为协方差矩阵的第i个特征值。令'xTH，则HTx。那么资产组合的方差可以改写为''''2()()2SSVarPxTCTxxTb（9）令'uTb，由于'TCT式对角矩阵，因此方差可以写成2211()2nniiiiSSiiVarPxxu22211()(1)nniiiiSSiiiiuux（10）从上式可以看出，此时我们又得到了类似于利用单一期货合约对冲现货合约时的情形。由于0i(1,2,)in，故方差最小时应该有iiSiux，剩余风险为221(1)niSiiu。与单一种类期货合约对冲时的情形进行类比可知，21niiiu相当于等效的期货-现货相关系数的平方，这个值越大，套期保值策略就越成功。在以上的分析中，我们有必要深入讨论一下x和u的经济含义，因为它们所表示的意义并不像最初引入的量h，H和b那样明显。我们已经知道h列阵中的第i个元素表示第i种期货合约的相对数量，H表示由h的元素乘以对应的标准差得到的列阵，而列阵x是由H作线性变换'xTH所得到。这一变换相当于一个“坐标变换”，也就是说我们不再以选定的n种期货合约作为基准，而是将基准换成n种新的“合约”，其中每一份合约都是原先的n种合约的某种组合。换句话说，我们设计出n种不同的资产组合方案，将原先的n种期货合约分别组合成n种新合约，再在这n种新合约所张成的线性空间讨论方差最小的问题。而u表示这n种新合约与现货合约之间的相关系数。在下面的实证分析中，我们将通过比较单一品种期货合约与现货合约的相关系数与利用多种合约对冲的等效相关系数的大小来研究套期保值策略的情况。3.实证数据分析为了进一步考察多期货套期保值方法，下面我们将结合实证研究来进一步阐明运用多期货进行交叉套期保值理论。假设现在有一份小麦现货的现货合约需要进行套期保值，可能的选择有：（1）利用单一的小麦期货和约进行对冲；（2）同时利用多种农产品期货进行对冲。考虑到数据的可获得性，我们选用硬质小麦、强筋小麦、玉米，黄大豆1号（以下简称为大豆）和棉花五种期货进行操作。其中硬质小麦、强筋小麦和棉花的数据取自郑州商品交易所，玉米和大豆数据取自大连商品交易所，小麦现货价格为北京地区普通硬质白麦进厂价格，同样取自郑州商品交易所。所有数据的时间跨度为2004年10月8日至2005年9月20日。以下分别用1，2，3，4，5来对硬质小麦，强筋小麦，棉花，玉米和大豆五种期货进行编号。下面假设我们分别希望选用1，2，3，4，5种期货合约进行套期保值，对每一种情况，我们都给出不同组合下的不同情况。在以下的分析中，（123）就表示用编号为1，2，3的三种期货进行对冲。下表总结了包括期货与现货在内的每种商品的标准差以及它们之间的相关系数。现货价格和期货价格的走势图见图1。图1小麦现货和硬质小麦、强筋小麦、玉米、大豆和棉花五种期货的价格走势图其中，由于棉花的价格远高出其余商品，故这一数据是在除以10以后作图的。表1各种期货与现货的标准差以及它们之间的相关系数标准差与现货相关系数与期货1相关系数与期货2相关系数与期货3相关系数与期货4相关系数与期货5相关系数现货75.450111.00000.80420.2594-0.3033-0.4184-0.5868期货149.095270.80421.0000-0.0061-0.5371-0.3073-0.4464期货253.008110.2594-0.00611.00000.14880.0421-0.0921期货3660.7392-0.3033-0.53710.14881.00000.53700.5372期货452.79525-0.4184-0.30730.04210.53701.00000.8678期货5218.8748-0.5868-0.4464-0.09210.53720.86781.0000表1给出了研究中使用的多种期货与现货的标准差以及它们之间的相关系数的数据分析结果。为了便于表示，实证研究的结果采用表格的形式，对不同组合下的不同情况进行总结。下表中代表在某一种组合下协方差矩阵的特征值组成的数组，u与x的定义与上文相同，h表示某个组合中每种期货与现货数量的比值（正值表示与现货合约操作相同，负值表示相反）。定义为组合的效率，=2max。其中max是该组合通过适当设计每种期货合约的数量所能达到的最大等效相关系数。在组合中只有一种期货时，我们只给出按照第二部分所示的公式SFh给出的h值以及值。表2不同期货合约的组合所对应的特征值、对冲策略及效率组合uxh(1)1.23590.6467(2)0.36920.0673(3)-0.03460.0920(4)-0.59790.1751(5)-0.20230.3443(12)0.99391.0061-0.7521-0.3852-57.0927-28.88961.23840.37620.7166(13)0.46291.5371-0.3542-0.7831-57.7310-38.44031.38510.02060.6700(14)0.62971.3703-0.2728-0.8645-32.6869-47.60071.1564-0.19970.6636(15)0.55361.4464-0.1537-0.9836-20.9512-51.30781.0407-0.09810.7115(23)0.85121.1488-0.3979-0.0310-35.2688-2.03880.4433-0.03990.1868(24)0.95791.0421-0.4793-0.1124-37.7508-8.14020.3950-0.61460.2519(25)0.90791.09210.2315-0.598419.2391-41.33860.2948-0.19570.3869(34)0.46301.5370-0.0814-0.5103-13.2629-25.0512-0.0126-0.51320.1837(35)0.46281.5372-0.2005-0.6294-32.6817-30.89250.0019-0.20540.3445(45)0.13221.8678-0.1191-0.7108-67.9603-28.71220.5