2020年高中数学 第一章 立体几何初步 7 7.3 球课件 北师大版必修2

第一章立体几何初步§7简单几何体的再认识7.3球自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．了解球的大圆、球的小圆的概念．2．了解直线与球相切．3．掌握球的表面积和体积公式，会用表面积和体积公式解决一些实际问题.1．球面被_____________________截得的圆叫作球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫作___________．2．当直线与球___________时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的___________．3．球的表面积公式：S球面＝__________.经过球心的平面球的小圆有唯一交点切点4πR2练一练(1)两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为()A．14B．18C．4D．8解析：S1S2＝4πr24π2r2＝14.答案：A4．球的体积公式：V球＝________.练一练(2)火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星的()A．4倍B．8倍C．14倍D．18倍43πR3解析：设火星的半径为r，则地球的半径为2r.∴V地V火＝43π2r343πr3＝8.答案：B1．球有何特殊性？答：球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，因此球的问题常转化为圆的问题来解决．2．与球有关的问题中，常用的一个等量关系是什么？答：若球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2.典例精析规律总结课堂互动探究已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．【解】设三角形ABC所在平面圆的半径为r，如图．O′A2－AD2＋O′C＝CD，r2－422＋r＝62－422，r2－4＋r＝42，r＝924.由题意得R22＋r2＝R2，R22＋9242＝R2，解得R＝362.∴S球＝4πR2＝54π，V球＝43πR3＝276π.【规律总结】计算球的表面积与体积都需求出球的半径R，经常用到方程的思想及关系式R2＝r2＋d2.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A.316B．916C．38D．932解析：如图，设球的半径为R，O1为半径OA的中点，则截面圆半径r＝O1B＝R2－R22＝32R.所以所求比为π·32R24πR2＝316.答案：A某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.9g/cm3)，每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是空心的，请你计算出它的内径(π取3.14，结果精确到1cm)．【解】由于外径为50cm的钢球的质量为7.9×43π×5023≈516792(g)，街心花园中钢球的质量为145000g，而145000＜516792，所以钢球是空心的．设球的内径是2xcm，那么球的质量为7.9·43π·5023－43πx3＝145000，解得x3≈11240.98，x≈22.4，2x≈45(cm)，∴钢球是空心的，其内径约为45cm.【规律总结】球的体积和表面积有着非常重要的应用，结合具体问题转化为计算球的表面积或体积．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解：如图，作出轴截面．由题意得：∠ODP＝90°.Rt△ODP中，∠OPD＝30°，则OP＝2r，PD＝3r，∴水深即圆锥高为3r，水面半径为3r，水的体积V＝V圆锥－V球＝13π(3r)2×3r－43πr3＝53πr3.将球取出后，设容器中水深为h，则水面圆的半径为33h.从而水的体积V＝13π33h2·h＝19πh3＝53πr3，∴h＝315r，∴取出球后，容器中水深315r.求棱长为a的正四面体的外接球与内切球的半径．【解】设正四面体ABCD的高为AO1，外接球球心为O，半径为R(如图)．因为正四面体的棱长为a，所以O1B＝32a×23＝33a.在Rt△AO1B中，AO1＝AB2－BO21＝a2－3a32＝63a.在Rt△OO1B中，OO21＝R2－33a2＝R2－a23，所以AO1＝63a＝R＋R2－a23.所以R＝64a，即外接球的半径为64a.设内切球半径为r，以内切球球心为顶点，正四面体的侧面及底面为底面，可得到四个三棱锥，其高为r，体积和为正四面体的体积．∴4×13·S·r＝13·S·h，∴r＝14h＝14×63a＝612a.所以正四面体外接球半径为64a，内切球半径为612a.【规律总结】解决球的切、接问题，一般应明确切点、接点与球及几何体的位置，作出合适的截面，转化为平面问题，构造直角三角形计算出球的半径．(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．解析：设球O的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以V1V2＝πR2·2R43πR3＝32.答案：32一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2.求球的表面积．【错解】如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R.∵圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)．同理，∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)．设OO1＝x，则OO2＝x＋9.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，∴x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15(cm)．即R2＝x2＋202＝252.故S球＝4πR2＝2500π(cm2)．∴球的表面积为2500πcm2.【错因分析】平行平面与球心的相对位置不确定，应注意讨论各种情况．【正解】(1)当截面在球心的同侧时(如错解)．(2)当截面位于球心O的两侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥O2B.设球的半径为R.∵圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)．同理，∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)．设O1O＝x，则OO2＝9－x.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2500πcm2.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一球的体积1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积是()A．16πB．86πC．24πD．32π解析：设正四棱柱底面边长为a，则4a2＝16，a＝2，球的直径为42＋22＋22＝26.V球＝43π×(6)3＝86π.答案：B2．两个球形容器的体积比为8∶27，则它们的表面积比为()A．2∶3B．4∶9C.8∶27D．2∶3解析：设两球半径分别为r，R，则43πr3∶43πR3＝8∶27，∴r∶R＝2∶3，r2∶R2＝4∶9，4πr24πR2＝49.答案：B知识点二球的表面积3．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．解析：由题意知长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14.设长方体的外接球的半径为R，则有2R＝14，∴4R2＝14，∴球O的表面积等于4πR2＝14π.答案：14π知识点三球的组合体4．已知正方体的外接球的半径为3，则该正方体的棱长为________．解析：正方体的体对角线为正方体外接球的直径．∴2R＝6＝3a，a＝23.答案：235．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．解：如图所示，设正方体棱长为a，则球的半径R＝a2＋22a2＝62a.∴V半球＝23π62a3＝62πa3，∴V半球∶V正方体＝62πa3∶a3＝62π.