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第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.4投影与直观图自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．了解中心投影和平行投影的主要特征和关系．2．会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图，会画出某些建筑物或零件的直观图．3．通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出直观图，了解空间图形的不同表示形式.1．平行投影(1)平行投影的概念已知图形F，直线l与平面α相交(如图所示)，过F上任意一点M作直线MM′________l，交平面α于点M′，则点M′叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影(或象)．如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形F在平面α内关于直线l的平行投影．平面α叫做________，l叫做________．平行于投射面投射线(2)平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影就具有下述性质：①直线或线段的平行投影仍是____________；②平行直线的平行投影是__________________；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段__________；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形______；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于________________．直线或线段平行或重合的直线平行且等长全等这两条线段的比2．直观图及斜二测画法(1)用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的________．(2)斜二测画法的规则①在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使__________________________________________，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°直观图③已知图形中，平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的__________相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中______________，平行于y轴的线段，长度为____________．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的________就得到了空间图形的直观图．位置关系保持长度不变原来的一半坐标轴3．中心投影一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的__________．空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行直线可能变成了相交直线，所以，在立体几何中很少用中心投影原理来画图，但投影后的图形直观性强，看起来与人的视觉效果一致，所以常用在绘画中，即画实际效果图．中心投影1．下面说法中正确的是()A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形B．两条相交的直线的直观图可能是平行直线C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D．水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形答案：D2．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：直观图是正三角形，三角形的底角为60°，大于45°，原图中则有一个角大于90°，是钝角三角形．答案：C3．关于直观图的斜二测画法，以下说法不正确的是()A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案：C典例精析规律总结课堂互动探究1平行投影与中心投影的概念和性质类型下列说法正确的是________．①直线或线段的平行投影仍为直线或线段；②与投射面平行的平面图形，其平行投影与这个图形一定全等；③平行四边形的平行投影可能是矩形；④两平行直线的平行投影一定平行；⑤如果一条长为2米的线段，其平行投影为1米，则长为10米的线段，其平行投影的长为5米．【分析】由已知图形经平行投影后所得投影的判定应根据投射面、投射线及图形的位置综合考查．【解析】因为当直线或线段与投射线平行时，其平行投影为一个点，故①不正确；②正确；因为经平行投影后的角度可以改变，平行性不变，故平行四边形的平行投影可能是矩形，故③正确；因为两平行直线的平行投影可能是一条直线或两个点，故④不正确；因为⑤中的两线段不一定平行，故⑤不正确．【答案】②③【知识点拨】平行投影与中心投影的区别(1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行．(2)如果一个平面图形所在平面与投影面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似，经平行投影后，得到的图形与原图形的形状大小完全相同．(3)画实际效果图时，一般用中心投影法，画空间图形的直观图时，一般用平行投影法．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法正确的是()A．内心的平行投影还是内心B．重心的平行投影还是重心C．垂心的平行投影还是垂心D．外心的平行投影还是外心解析：三角形的重心是中线的交点，三角形平行投影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心，故选B．答案：B2水平放置的平面图形的直观图类型用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图．【分析】解答本题要严格按照斜二测画法的步骤来做．【解】画法：(1)在已知的正五边形ABCDE中，取正五边形的中心O为坐标原点，对称轴FA为y轴，过O作与y轴垂直的直线为x轴．分别过点B，E作BG∥Oy，EH∥Oy，与x轴分别交于G，H.画对应的O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以点O′为中点，在x′轴上取G′H′＝GH，分别过G′，H′在x′轴的上方作G′B′∥O′y′，H′E′∥O′y′，并使G′B′＝12GB，H′E′＝12HE；在y′轴正半轴上，取O′A′＝12OA，在y′轴的负半轴上，取O′F′＝12OF，并以点F′为中点画C′D′∥O′x′，且C′D′＝CD.(3)连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，所得的五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图．【知识点拨】(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．(2)在直观图中确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点．(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形解析：还原△ABC的直观图，如图所示，其中BO＝CO＝1，AO＝2A′O′＝3，∴AC＝AB＝3＋1＝2，∴△ABC是等边三角形，故选A．答案：A3空间几何体的直观图类型画出底面边长为1.2cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5cm的四棱锥的直观图．【分析】由题目可获取以下信息：①此几何体底面是正方形；②顶点在底面的射影应为底面的中心．解答本题可先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二测画法的规则及步骤画出直观图．【解】画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①所示．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2cm.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5cm.(4)成图．连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②所示．【知识点拨】画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．用斜二测画法画一个底面边长为4cm，高为6cm的正六棱柱的直观图．解：(1)画轴：画x′轴，y′轴，z′轴，记坐标原点为O′，如图①所示；(2)画底面：在x′O′y′平面上画边长为4cm的正六边形的直观图ABCDEF；(3)画侧棱：过点A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，使它们都等于6cm；(4)成图：顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线，就得到了正六棱柱的直观图，如图②所示．即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一斜二测画法1．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是()A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是135°答案：C知识点二平面图形的直观图2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，A′O′＝6，B′O′＝2，则△OAB的面积是()A．32B．6C．62D．12解析：由题可得△OAB的图形，如图所示．其中|OA|＝6，|OB|＝4，∴S△OAB＝12|OA||OB|＝12×6×4＝12.故选D．答案：D3.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()A．8cmB．6cmC．2(1＋3)cmD．2(1＋2)cm解析：将直观图还原如图所示：OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝22.∴AB＝OA2＋OB2＝3，∴四边形OABC的周长为OA＋AB＋BC＋CO＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，故选A．答案：A4．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的________倍．解析：设三角形的高为h，底边为a，采用斜二测画法后，所得三角形的底边为a，高为h2sin45°＝24h，∴S直＝12a·24h＝24S原．答案：245．一几何图形的直观图为等腰梯形，其底角为45°，上底边长为2，腰为2，则这个几何图形的面积为________．解析：将直观图还原如图所示：可知这个几何图形是直角梯形，在A′B′C′D′中，D′C′＝2，A′D′＝2.作D′E⊥A′B′交A′B′于E，∴A′E＝2.AB＝A′B′＝2A′E＋D′C′＝22＋2，AD＝2A′D′＝4，∴所求几何图形的面积为2＋22＋22×4＝8＋42.答案：8＋42