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第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念，初步掌握运用旋转的观点去观察问题．2．理解这几种几何体的轴截面的概念和它在决定几何体时的重要作用.几种简单旋转体的比较名称定义图形表示圆柱以____________所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的______所围成的几何体叫圆柱矩形的一边曲面名称定义图形表示圆锥以直角三角形的____________所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的______所围成的几何体叫圆锥圆台以直角梯形中________________所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的______所围成的几何体叫圆台一条直角边曲面垂直于底边的腰曲面名称相关概念圆柱圆锥圆台高：在______的这条边(或它的长度)；底面：__________的边旋转而成的圆面；侧面：____________的边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，________都叫做侧面的母线轴上垂直于轴不垂直于轴这条边名称定义图形表示球一个球面可以看作一个半圆绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的______.______围成的几何体叫做球直径曲面球面名称相关概念球球心：形成球的半圆的______球的半径：连接球心和球面上一点的______球的直径：连接球面上两点并且通过______的线段两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的______在这两点间的一段______的长度，把这个______叫做两点的球面距离圆心线段球心大圆劣弧弧长1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体，故选D．答案：D2．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面面积为()A．10B．15C．20D．40解析：圆柱的轴截面为矩形，长为4，宽为5，所以轴截面的面积为4×5＝20，故选C．答案：C3．有下列说法：①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段；②球的直径是连接球面上两点的线段；③不过球心的截面截得的圆叫做小圆．其中正确说法的序号是________．答案：①③典例精析规律总结课堂互动探究1圆柱类型(1)下列命题中正确的是()A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体C．直线绕定直线旋转形成柱面D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱(2)用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8B．8πC．4πD．2π【解析】(1)由圆柱的概念可知D正确．(2)若矩形的长为圆柱底面周长，则2πR＝4，所以2R＝4π.因此圆柱轴截面面积S1＝2R·2＝8π；若矩形的宽为圆柱底面周长，则2πR＝2，所以2R＝2π，则圆柱轴截面面积S2＝2R·4＝8π.综上可知，圆柱的轴截面面积为8π.故选B．【答案】(1)D(2)B【知识点拨】圆柱的性质：(1)圆柱的上下底面为两个相等的圆面．(2)圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径，一组对边为母线．(3)平行于底面的截面是与底面全等的圆面．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是()A．10cmB．52cmC．5π2＋1cmD．52π2＋4cm解析：作出侧面展开图，如图所示．∴EG＝EF2＋GF2＝π×522＋52＝52π2＋4(cm)，故选D．答案：D2圆锥与圆台类型圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．【分析】对于圆台的轴截面，我们一般将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例定理、三角形相似等知识来解决．【解】圆台的轴截面如图，设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm，延长AA′，交OO′的延长线于点S.在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO′＝A′O′＝x，所以OO′＝2x，又因为S轴截面＝12(6x＋2x)2x＝392，所以x＝7.综上，圆台的高为OO′＝14cm，母线长为l＝2OO′＝142cm，两底面的半径分别为7cm,21cm.【知识点拨】(1)圆锥的性质：圆锥的轴截面是等腰三角形，底为底面圆的直径，腰为母线；平行于底面的截面为圆面，将圆锥分为一个小圆锥与一个圆台．(2)圆台的性质：圆台的上、下底面为两个不等的圆面；轴截面为等腰梯形，上、下底为上、下两底面圆的直径，腰为母线；平行于底面的截面将圆台分为两个小圆台．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．解析：设母线长为l，则有34l2＝3，则l＝2.答案：2一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为()A．103cmB．203cmC．20cmD．10cm解析：由题可得，圆锥的高为20·cos30°＝20×32＝103.故选A．答案：A3球类型(1)已知球的半径为10cm，若它的一个截面圆的面积是36πcm2，则球心与截面圆圆心的距离是________；【解析】设截面圆半径为r，球心与截面圆圆心的距离为d，球半径为R.由已知，R＝10cm，πr2＝36πcm2，∴r＝6cm.∴d＝R2－r2＝100－36＝8cm.【答案】8cm(2)设地球半径为R，在北纬45°圈上有A，B两地，它们的纬线圈上的弧长等于24πR，求A，B两地间的球面距离．【解】如图所示，A，B是北纬45°圈上的两点，AO′为此纬线圈的半径，∴OO′⊥AO′，OO′⊥BO′.∵∠OAO′＝∠OBO′＝45°，∴AO′＝BO′＝OA·cos45°＝22R.设∠AO′B的度数为α，即απ180°·AO′＝απ180°·22R＝24πR，∴α＝90°.连接AB，则AB＝AO′2＋BO′2＝22R2＋22R2＝R.在△AOB中，AO＝BO＝AB＝R，则△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°.∴A，B两地间的球面距离为60πR180＝π3R.【知识点拨】(1)球的截面的性质：球的截面是圆面；球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离就是球心到截面圆心O1的距离，则有OO1＝R2－r2.(2)球面上两点间的距离是指过这两点的球的大圆上两点间的劣弧长，求球面距离的步骤是先求两点间的直线距离，在大圆中求球心角，再求球面距离．一圆柱内接于球，已知圆柱的底面半径为2，高为2，则球的半径为()A．2B．5C．22D．2解析：如图所示，BC＝2，AB＝2，∴OB＝1，∴球的半径为OB2＋BC2＝1＋4＝5，故选B．答案：B即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一圆柱的结构特征1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是()A．圆锥B．圆柱C．球D．以上都有可能答案：B知识点二圆锥的结构特征2．圆锥过轴的截面是()A．圆B．等腰三角形C．矩形D．抛物线答案：B知识点三圆锥与圆台3．把一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面半径的比是1∶4，圆台的母线长是10，则原来的圆锥的母线长是()A．103B．703C．403D．13解析：设原圆锥的母线长为l，由题意l－10l＝14，所以l＝403.答案：C知识点四球与组合体4．正方体的全面积是a2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的半径是()A．36aB．24aC．22aD．32a解析：正方体外接球的直径等于正方体的体对角线的长，所以2R＝3·a26＝a22＝22a，∴R＝24a，故选B．答案：B知识点五球5．如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬60°纬线长和赤道长的比值为________．解析：设地球半径为R，则北纬60°纬线圈的半径为Rcos60°＝12R，而圆的周长之比等于半径之比，故为12.答案：12