2020年高中数学 第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面

第一章空间几何体1．3空间几何体的表面积与体积1．3．2球的体积和表面积登高揽胜拓界展怀课前自主学习1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积．2．能解决与球有关的组合体的计算问题．学习目标‖自主导学‖预习课本P27～P28，思考并完成以下问题．知识点一|球的体积公式与表面积公式1．球的体积公式V＝43πR3(其中R为球的半径)．2．球的表面积公式S＝4πR2.‖小试身手‖1．直径为1的球的体积是()A．1B.π6C.π3D．π解析：选BR＝12，故V＝43πR3＝43×π×18＝π6.2．表面积为8π的球的半径是________．解析：S＝4πR2＝8π，故R＝2.答案：2知识点二|球体的截面的特点1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆．2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．‖小试身手‖3．若球的过球心的圆面周长是C，则这个球的表面积是()A.C24πB.C22πC.C2πD．2πC2解析：选C由2πR＝C，得R＝C2π，∴S球面＝4πR2＝C2π.4．若一个球的直径是10cm，则它的体积为________cm3.解析：由题意知其半径为R＝102＝5(cm)，故其体积为V＝43πR3＝43×π×53＝5003π(cm3)．答案：5003π剖析题型总结归纳课堂互动探究题型一球的表面积和体积【例1】(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．[解](1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝43πR3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R，则43πR3＝5003π，解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.1．已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.|方法总结|1．若一个球的表面积是16π，则它的体积是()A．64πB.64π3C．32πD.32π3解析：选D设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝43πR3＝323π.2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π.答案：3π题型二球的截面问题【例2】平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6πB．43πC．46πD．63π[解析]如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1.∴OM＝22＋1＝3.即球的半径为3.∴V＝43π(3)3＝43π.[答案]B有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.|方法总结|3．(2019·云南大理一中月考)在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都相切，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()解析：选B正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．题型三与球有关的组合问题考向1球的外切正方体问题【例3】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.4π3B.2π3C.3π2D.π6[解析]由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是V球＝43×π×13＝4π3.[答案]A考向2球的内接长方体问题【例4】长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________．[解析]设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，则ab＝3，bc＝5，ac＝15，解得a＝3，b＝1，c＝5，∴外接球半径为a2＋b2＋c22＝32，∴外接球表面积为4π×322＝9π.[答案]9π考向3球的内接正四面体问题【例5】若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．[解]把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，由题意2R＝3x＝3×2a2＝62a，∴S球＝4πR2＝64a2π＝32a2π.|方法总结|1．正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．2．球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝2a2，如图(2)．3．长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝12a2＋b2＋c2，如图(3)．4．正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝3a.5．正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝62a.4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2解析：选B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R＝OA满足R2＝33a2＋12a2＝712a2，故S球＝4πR2＝73πa2.5．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.答案：14π6．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．解析：①如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－r22＝3r2，高为3r2.该圆锥的体积为13×π×3r22×3r2＝38πr3，球体积为43πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②当圆锥顶点与底面在球心同侧时，高为r2，半径为3r2，该圆锥的体积为13×π×3r22×r2＝π8r3，∴比值为332.答案：932或332知识归纳自我测评堂内归纳提升「规律方法」1．一个直角三角形：球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法．2．两种位置关系：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．「自测检评」1．直径为6的球的表面积和体积分别是()A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36πD．144π，144π解析：选B球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝43π·33＝36π.2．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()A.12B．1C．2D．3解析：选D设球的半径为R，则4πR2＝43πR3，所以R＝3.3．一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为()A．8B．82C．83D．42解析：选A∵球的半径为1，且正方体内接于球，∴球的直径即为正方体的体对角线，即正方体的体对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝43.∴正方体的表面积为S表＝6a2＝6×43＝8.4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________．解析：设大球的半径为R，则有43πR3＝2×43π×13，R3＝2，∴R＝32.答案：325．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍．解析：球的半径为R时，球的体积为V1＝43πR3，表面积为S1＝4πR2，半径增加为2R后，球的体积为V2＝43π(2R)3＝323πR3，表面积为S2＝4π(2R)2＝16πR2.所以V2V1＝323πR343πR3＝8，S2S1＝16πR24πR2＝4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍．答案：84