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第一章集合1.2集合之间的关系与运算1.2.2集合的运算第二课时全集与补集自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解在给定集合中的一个子集的补集的定义，会求给定子集的补集．2．会用自然语言、符号语言、Venn图三种形式表示集合的三种运算(并集、交集、补集)．3．培养借助Venn图、数轴解决集合问题的意识，采用“数形结合法”的思想方法去解题，特别是一些字母的范围问题.1．全集与补集在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用___表示．如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作______.读作“A在U中的补集”．U∁UA2．补集的相关性质(1)∁UA⊆U；∁UU＝∅；∁U∅＝U；∁U(∁UA)＝A；(2)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；(3)A⊆B⇔∁UB⊆∁UA.1．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于()A．0B．2C．0或2D．1或2解析：由题可知a＝2.答案：B2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝________.解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}．答案：{x|0＜x≤1}3．设集合U＝{0,1,2,3,4,5}，集合M＝{0,3,5}，N＝{1,4,5}，则M∩(∁UN)＝________.解析：∁UN＝{0,2,3}，M∩(∁UN)＝{0,3}．答案：{0,3}典例精析规律总结课堂互动探究1补集的简单运算类型(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,6}，B＝{1,3,5}，则A∩(∁UB)等于()A．{2,5}B．{1,3,5}C．{2,4,5}D．{2,4,6}(2)已知U＝R，A＝{x|x0}，B＝{x|x≤－1}，则[A∩(∁UB)]∪[B∩(∁UA)]＝()A．∅B．{x|x≤0}C．{x|x0或x≤－1}D．{x|x≤－1}【解析】(1)∵∁UB＝{2,4,6,7}，∴A∩(∁UB)＝{2,4,6}．故选D．(2)∁UB＝{x|x－1}，∁UA＝{x|x≤0}，∴A∩(∁UB)＝{x|x0}，B∩(∁UA)＝{x|x≤－1}，∴[A∩(∁UB)]∪[B∩(∁UA)]＝{x|x0或x≤－1}．故选C．【答案】(1)D(2)C【知识点拨】补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＋1＜0}，B＝{x|x－3＜0}，那么集合(∁UA)∩B＝()A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1＜x＜3}C．{x|x＜－1}D．{x|x＞3}解析：∁UA＝{x|x≥－1}，B＝{x|x－3＜0}＝{x|x＜3}，∴(∁UA)∩B＝{x|－1≤x＜3}，故选A．答案：A2交、并、补的综合问题类型已知全集为R，集合A＝{x|2≤x4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，C＝{x|xa}．(1)求A∩B；(2)求A∪(∁RB)；(3)若A⊆C，求a的取值范围．【解】(1)∵B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|2≤x4}∩{x|x≥3}＝{x|3≤x4}．(2)∵∁RB＝{x|x3}，∴A∪(∁RB)＝{x|2≤x4}∪{x|x3}＝{x|x4}．(3)∵集合A＝{x|2≤x4}，C＝{x|xa}，且A⊆C，∴a≥4.∴a的取值范围是a≥4.已知集合A＝{x|a≤x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．(1)当a＝0时，求A∩B，A∪(∁RB)；(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，A＝{x|0≤x≤8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，∴A∩B＝{x|5＜x≤8}．∁RB＝{x|－1≤x≤5}，∴A∪(∁RB)＝{x|－1≤x≤8}．(2)若A∪B＝B，∴A⊆B，则a＞5或a＋8＜－1，即a＞5或a＜－9.∴实数a的取值范围为a＞5或a＜－9.已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，求A∪B.解：∵(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B且2∉A.∵A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A且4∉B.根据题意，得42＋4p＋12＝0，22－5×2＋q＝0，解得p＝－7，q＝6，∴A＝{3,4}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{2,3,4}.3图形语言与集合语言的转换类型(1)图中阴影部分所表示的集合是()A．B∩[∁U(A∪C)]B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁UB)D．[∁U(A∪C)]∪B(2)已知全集U＝{x∈N*|x9}，(∁UA)∩B＝{1,6}，A∩(∁UB)＝{2,3}，∁U(A∪B)＝{5,7,8}，则B＝()A．{2,3,4}B．{1,4,6}C．{4,5,7,8}D．{1,2,3,6}【解析】(1)由图可知，阴影部分表示集合B与A∪C的补集的交集，即B∩[∁U(A∪C)]，故选A．(2)根据题中条件，如图所示．可知A∩B＝{4}，∴B＝{1,4,6}．故选B．【答案】(1)A(2)B【知识点拨】并集、交集、补集的关系(1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)(如图所示)(2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)(如图所示)(3)对于元素个数的计算问题，可参照下图，其中U为全集：区域①，②，③，④分别表示：∁U(A∪B)，A∩(∁UB)，A∩B，B∩(∁UA)．图中阴影部分可以表示为()A．M∩NB．(∁UM)∩(∁UN)C．(∁UM)∪(∁UN)D．M∪N答案：B即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一集合的运算1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则(∁UA)∪(∁UB)＝()A．{1,6}B．{4,5}C．{2,3,4,5,7}D．{1,2,3,6,7}解析：∵∁UA＝{1,3,6}，∁UB＝{1,2,6,7}，∴(∁UA)∪(∁UB)＝{1,2,3,6,7}．答案：D2．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.解：把全集U和集合A，B在数轴上表示如图：由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2＜x＜3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，(∁UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2或x＝3}．知识点二集合间的关系3．设集合M＝{x|x2}，集合N＝{x|0x1}，则下列关系中正确的是()A．M∪N＝RB．M∪(∁RN)＝RC．N∪(∁RM)＝RD．M∩N＝M解析：由题可知N⊆M，∴M∪N＝M，M∩N＝N，故A，D错，M∪(∁RN)＝R，故B正确，N∪(∁RM)≠R，故C错，故选B．答案：B知识点三集合的补集4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁UM)等于()A．{1,3}B．{1,5}C．{3,5}D．{4,5}解析：N∩(∁UM)＝{3,5}，故选C．答案：C知识点四集合的图形表示5．已知全集U＝R，M＝{x|x＜0或x＞2}，N＝{x|1x3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}解析：图形中阴影部分表示N∩(∁UM)，∁UM＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|1＜x＜3}，∴N∩(∁UM)＝{x|1＜x≤2}，故选C．答案：C